Введение

Формула для "объема" n-симплекса

В линейной алгебре, геометрии и тригонометрии детерминант Кейли — Менгера представляет собой формулу для определения содержания, то есть n-мерного объема, n-мерного симплекса через квадраты всех расстояний между парами его вершин. Детерминант назван в честь Артура Кейли и Карла Менгера. Полиномы попарных расстояний между n точками в реальном евклидовом пространстве являются евклидовыми инвариантами, связанные посредством соотношений Кейли — Менгера. Эти соотношения использовались для различных целей, таких как обобщение формулы Герона, вычисление объема n-мерного симплекса и, в конечном итоге, определение того, является ли любая вещественная симметричная матрица матрицей евклидовых расстояний в области геометрии расстояний.

История

Карл Менгер был молодым профессором геометрии в Венском университете, а Артур Кейли — британским математиком, специализировавшимся на алгебраической геометрии. Менгер, опираясь на алгебраическое мастерство Кейли, предложил новую аксиому метрических пространств, используя понятия дистанционной геометрии и отношения конгруэнтности, известную как определитель Кейли — Менгера. Это позволило обобщить одно из первых открытий в дистанционной геометрии — формулу Герона, вычисляющую площадь треугольника по длинам его сторон.

Определение

Пусть даны точки в -мерном евклидовом пространстве, с условием Эти точки являются вершинами -мерного симплекса: треугольника при ; тетраэдра при , и так далее. Пусть обозначены евклидовы расстояния между вершинами и . Содержание, то есть -мерный объем этого симплекса, обозначаемый , может быть выражено как функция детерминантов определенных матриц следующим образом:

Это детерминант Кейли — Менгера. Для он является симметричным многочленом относительно и, следовательно, инвариантен относительно перестановки этих величин. Это не выполняется для , но он всегда инвариантен относительно перестановки вершин. За исключением последней строки и столбца, состоящих из единиц, матрица во второй форме этого уравнения является матрицей евклидовых расстояний.

2-Симплекс

Повторюсь, симплекс — это n-мерный политоп и выпуклая оболочка точек, не лежащих в (n-1)-мерной плоскости. Следовательно, 2-симплекс возникает при n=2, и симплекс представляет собой треугольник. Поэтому формула для определения [чего-либо, связанного с] треугольником приведена ниже:

Пример

В случае , мы имеем, что является площадью треугольника и, следовательно, будем обозначать это через . По определителю Кейли — Менгера, где треугольник имеет длины сторон , и ,

Результат в третьей строке обусловлен тождеством Фибоначчи. Последняя строка может быть переписана для получения формулы Герона для площади треугольника, заданной тремя сторонами, которая была известна Архимеду ранее. В случае , величина дает объем тетраэдра, который мы будем обозначать через . Для расстояний между и , заданных , определитель Кейли — Менгера дает

Найти радиус окружности симплекса

Для невырожденного n-симплекса существует описанная около него n-сфера с радиусом. Тогда (n+1)-симплекс, образованный вершинами n-симплекса и центром n-сферы, является вырожденным. Таким образом, мы имеем, в частности, при n=2, формулу для радиуса описанной окружности треугольника, выраженную через длины его сторон.