Кіріспе
Хаос теориясындағы көзге көрінетін парадокс. Физикада Ферми–Паста–Улам–Цинго (FPUT) проблемасы немесе бұрынғы Ферми–Паста–Улам проблемасы – хаос теориясындағы көзге көрінетін парадокс. Көптеген жеткілікті күрделі физикалық жүйелер күтілген эргодикалық мінез-құлықтың орнына, Ферми–Паста–Улам–Цинго қайталануы (немесе Ферми–Паста–Улам қайталануы) деп аталатын дерлік толыққанды периодтық мінез-құлықты көрсетті. Бұл күтпеген жағдай болды, өйткені Энрико Ферми жүйені салыстырмалы түрде қысқа уақыт ішінде термалдануына көз жеткізген. Яғни, эквипарция теоремасы немесе, жалпы алғанда, эргодикалық гипотезаға сәйкес, барлық тербеліс режимдерінің ақыр соңында бірдей күшпен пайда болуы күтілді. Бірақ осы жүйе эргодикалық гипотезадан қашқандай көрінді. Қайталану оңай байқалатын болса да, кейіннен жүйе өте ұзақ уақыт өткен соң термалданатыны анық болды. Жүйенің мінез-құлқын түсіндіру үшін бірнеше бәсекелес теориялар ұсынылды және ол әлі де белсенді зерттеу тақырыбы болып табылады. Бастапқы мақсат – сол кездегі жаңа MANIAC компьютерінде сандық модельдеуге лайық физикалық проблеманы табу еді. Ферми термалданудың осындай қиындық туғызатынын сезінген. Осылайша, бұл математикалық зерттеулерде цифрлық компьютерлерді қолданудың ең алғашқы мысалдарының бірі болды; сонымен қатар, күтпеген нәтижелер сызықтық емес жүйелерді зерттеуге бастама берді.
In physics, the Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (FPUT) problem or formerly the Fermi–Pasta–Ulam problem was the apparent paradox in chaos theory that many complicated enough physical systems exhibited almost exactly periodic behavior – called Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence (or Fermi–Pasta–Ulam recurrence) – instead of the expected ergodic behavior. This came as a surprise, as Enrico Fermi, certainly, expected the system to thermalize in a fairly short time. That is, it was expected for all vibrational modes to eventually appear with equal strength, as per the equipartition theorem, or, more generally, the ergodic hypothesis. Yet here was a system that appeared to evade the ergodic hypothesis. Although the recurrence is easily observed, it eventually became apparent that over much, much longer time periods, the system does eventually thermalize. Multiple competing theories have been proposed to explain the behavior of the system, and it remains a topic of active research. The original intent was to find a physics problem worthy of numerical simulation on the then new MANIAC computer. Fermi felt that thermalization would pose such a challenge. As such, it represents one of the earliest uses of digital computers in mathematical research; simultaneously, the unexpected results launched the study of nonlinear systems.
FPUT эксперименті
1953 жылдың жазында Энрико Ферми, Джон Паста, Станислав Улам және Мэри Цингу сызықтық емес мүшесі (бір сынақта квадраттық, екіншісінде кубикалық, ал үшіншісінде кубикалыққа жуықтап сызықтық шамалау) бар тербелісті тізбектің компьютерлік модельдеуін жүргізді. Олар жүйенің мінез-құлқының интуиция бойынша күткеннен мүлдем өзгеше екенін анықтады. Энрико Ферми көптеген итерациялардан кейін жүйенің термалдануға, яғни эргодикалық мінез-құлыққа ие болатынын, онда тербелістің бастапқы режимдерінің әсері азайып, жүйе барлық режимдер шамамен бірдей қозған кездейсоқ күйге өтетінін ойлады. Бірақ, жүйе өте күрделі квази-периодтық мінез-құлықты көрсетті. Олар нәтижелерін 1955 жылы Лос-Аламос техникалық есебінде жариялады. Энрико Ферми 1954 жылы қайтыс болғандықтан, бұл техникалық есеп Ферми қайтыс болғаннан кейін жарық көрді. 2020 жылы National Security Science журналында Цингу туралы мақала жарияланды, онда оның FPUT мәселесіне қатысты түсініктемелері мен тарихи ойлары келтірілді. Мақалада Цингу: «Бір күні Паста мен Уламмен отырып, компьютерде шеше алатын нақты математикалық мәселелерді ойластырғанымды есімдемін», – деді. Олар бірнеше нәрсені сынап көрді, бірақ соңында «сол тербелісті тізбекке келдік». FPUT эксперименті сызықтық емес жүйелердің күрделілігін көрсетуде және жүйелерді талдауда компьютерлік модельдеудің маңыздылығын дәлелдеуде үлкен рөл атқарды.
Атауын өзгерту
Түпнұсқа мақалада Ферми, Паста және Улам авторлар ретінде көрсетілген (дегенмен Ферми есеп жазылмас бұрын қайтыс болған), ал Цингоуға MANIAC симуляцияларын бағдарламалаудағы еңбегі үшін алғыс айтылған. Мэри Цингоудың FPUT мәселесіне қосқан үлесі, оның даму тарихына қатысты қосымша ақпарат жарияланғанға дейін қауымдастықта көбінесе назардан тыс қалды. Содан кейін мәселенің атын өзгертіп, оған да автор ретінде толық құқық беру қажеттігі айтылды.
FPUT тор жүйесі
Ферми, Паста, Улам және Цингу ең жақын көршілес байланысқан осцилляторлардың келесі дискретті жүйесін шешу арқылы тербелетін ішекті модельдеді. Біз Ричард Палестің мақаласында келтірілген түсіндірмеге сүйенеміз. Ұзындығы L және тепе-теңдік позициялары бар N осциллятор болсын, мұнда h – тор аралығы. J-ші осциллятордың уақытқа байланысты орны , яғни тепе-теңдіктен ауытқуы. FPUT келесі қозғалыс теңдеулерін қолданды:
Бұл тек j-ші бөлшектің Ньютонның екінші заңы. Бірінші мүше – бұл күшке қатысты стандартты Хук заңы. -мен байланысты мүше – бұл сызықтық емес күш. Біз бұл теңдеуді жалғастық шамалар арқылы қайта жаза аламыз, толқын жылдамдығын c деп белгілейміз, мұнда E – ішектің Янг модулі, ал ρ – тығыздық: