Парадокс Ферми — Паста — Улама — Цингоу в теории хаоса
Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem
Проблема ФПУ: парадокс в теории хаоса. Неожиданное периодическое поведение сложных физических систем вместо хаотичного. Рекуррентность ФПУ и э ergodic гипотеза.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Очевидный парадокс в теории хаоса
Apparent paradox in chaos theory
В физике проблема Ферми–Паста–Улам–Цингу (FPUT), или ранее проблема Ферми–Паста–Улам, представляла собой кажущийся парадокс в теории хаоса: многие достаточно сложные физические системы демонстрировали почти точно периодическое поведение – называемое рекуррентностью Ферми–Паста–Улам–Цингу (или рекуррентностью Ферми–Паста–Улам) – вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми, безусловно, ожидал, что система быстро достигнет теплового равновесия. То есть, предполагалось, что все колебательные моды в конечном итоге проявятся с одинаковой интенсивностью, в соответствии с теоремой об равнораспределении энергии или, в более общем смысле, эргодической гипотезой. Однако эта система, казалось, избегала эргодической гипотезы. Хотя рекуррентность легко наблюдается, со временем стало очевидно, что при значительно более длительных временных интервалах система все же достигает теплового равновесия. Было предложено множество конкурирующих теорий для объяснения поведения системы, и она остается предметом активных исследований. Изначальной целью было найти физическую задачу, достойную численного моделирования на новом компьютере MANIAC. Ферми полагал, что достижение теплового равновесия станет такой задачей. Таким образом, это одно из первых применений цифровых компьютеров в математических исследованиях; одновременно, неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем.
In physics, the Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (FPUT) problem or formerly the Fermi–Pasta–Ulam problem was the apparent paradox in chaos theory that many complicated enough physical systems exhibited almost exactly periodic behavior – called Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence (or Fermi–Pasta–Ulam recurrence) – instead of the expected ergodic behavior. This came as a surprise, as Enrico Fermi, certainly, expected the system to thermalize in a fairly short time. That is, it was expected for all vibrational modes to eventually appear with equal strength, as per the equipartition theorem, or, more generally, the ergodic hypothesis. Yet here was a system that appeared to evade the ergodic hypothesis. Although the recurrence is easily observed, it eventually became apparent that over much, much longer time periods, the system does eventually thermalize. Multiple competing theories have been proposed to explain the behavior of the system, and it remains a topic of active research. The original intent was to find a physics problem worthy of numerical simulation on the then new MANIAC computer. Fermi felt that thermalization would pose such a challenge. As such, it represents one of the earliest uses of digital computers in mathematical research; simultaneously, the unexpected results launched the study of nonlinear systems.
Эксперимент FPUT
Летом 1953 года Энрико Ферми, Джон Паста, Станислав Улам и Мэри Цингу провели компьютерное моделирование вибрирующей струны, которое включало нелинейный член (квадратичный в одном тесте, кубический в другом и кусочно-линейное приближение к кубическому в третьем). Они обнаружили, что поведение системы оказалось существенно отличным от того, что можно было бы ожидать, исходя из интуиции. Энрико Ферми полагал, что после множества итераций система должна была бы продемонстрировать термализацию – эргодическое поведение, при котором влияние начальных мод колебаний затухает, и система становится более или менее случайной, с примерно одинаковым возбуждением всех мод. Вместо этого система проявила очень сложное квазипериодическое поведение. Они опубликовали свои результаты в техническом отчете Лос-Аламоса в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, поэтому этот технический отчет был опубликован уже после его смерти. В 2020 году журнал National Security Science опубликовал статью о Цингу, включающую её комментарии и исторические размышления о проблеме FPUT. В статье Цингу вспоминает: «Я помню, как однажды сидела с Пастой и Уламом», когда они обсуждали «какие-нибудь задачи, которые мы могли бы решить на компьютере, действительно математические задачи». Они пробовали разные варианты, но в итоге «пришли к идее этой вибрирующей струны». Эксперимент FPUT был важен как с точки зрения демонстрации сложности поведения нелинейных систем, так и с точки зрения оценки ценности компьютерного моделирования для анализа систем.
In the summer of 1953 Enrico Fermi, John Pasta, Stanislaw Ulam, and Mary Tsingou conducted computer simulations of a vibrating string that included a non linear term (quadratic in one test, cubic in another, and a piecewise linear approximation to a cubic in a third). They found that the behavior of the system was quite different from what intuition would have led them to expect. Enrico Fermi thought that after many iterations, the system would exhibit thermalization, an ergodic behavior in which the influence of the initial modes of vibration fade and the system becomes more or less random with all modes excited more or less equally. Instead, the system exhibited a very complicated quasi periodic behavior. They published their results in a Los Alamos technical report in 1955. Enrico Fermi died in 1954, and so this technical report was published after Fermi's death. In 2020, National Security Science magazine featured an article on Tsingou that included her commentary and historical reflections on the FPUT problem. In the article, Tsingou states "I remember sitting there one day with Pasta and Ulam," as they brainstormed "some problems we could do on the computer, some really mathematical problems." They tried several things, but, eventually, "they came up with this vibrating string." The FPUT experiment was important both in showing the complexity of nonlinear system behavior and the value of computer simulation in analyzing systems.
Изменение названия
В оригинальной статье авторами указаны Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умер до завершения работы над отчетом) с благодарностью Цингу за ее вклад в программирование симуляций на MANIAC. Вклад Мэри Цингу в проблему FPUT долгое время оставался незамеченным научным сообществом, пока не были опубликованы дополнительные сведения о разработке и не прозвучали призывы переименовать проблему, чтобы признать ее авторство.
The original paper names Fermi, Pasta, and Ulam as authors (although Fermi died before the report was written) with an acknowledgement to Tsingou for her work in programming the MANIAC simulations. Mary Tsingou's contributions to the FPUT problem were largely ignored by the community until published additional information regarding the development and called for the problem to be renamed to grant her attribution as well.
Система решетки FPUT
Ферми, Паста, Улам и Цингу смоделировали вибрирующую струну, решив следующую дискретную систему ближайших связанных осцилляторов. Мы следуем объяснению, представленному в статье Ричарда Палеса. Пусть существует N осцилляторов, представляющих струну длиной с равновесными положениями , где – расстояние между узлами решетки. Тогда положение j-го осциллятора как функция времени будет , что дает смещение от равновесия. FPUT использовали следующие уравнения движения:
Fermi, Pasta, Ulam, and Tsingou simulated the vibrating string by solving the following discrete system of nearest neighbor coupled oscillators. We follow the explanation as given in Richard Palais's article. Let there be N oscillators representing a string of length with equilibrium positions , where is the lattice spacing. Then the position of the j th oscillator as a function of time is , so that gives the displacement from equilibrium. FPUT used the following equations of motion:
Это просто второй закон Ньютона для j-й частицы. Первый член – это обычная форма закона Гука для силы. Член с – это нелинейная сила. Мы можем переписать это в терминах непрерывных величин, определив скорость волны , где – модуль Юнга для струны, а – плотность:
This is just Newton's second law for the j th particle. The first factor is just the usual Hooke's law form for the force. The factor with is the nonlinear force. We can rewrite this in terms of continuum quantities by defining to be the wave speed, where is the Young's modulus for the string, and is the density: