Кіріспе
Параметр кеңістігі – белгілі бір математикалық модельді анықтайтын параметрлердің мүмкін мәндерінің жиынтығы. Ол кейде салмақ кеңістігі деп те аталады және көбінесе шекті өлшемді Евклид кеңістігінің ішкі жиыны болып табылады. Статистикада параметрлік кеңістіктер ықтималдық таралымдарының параметрлік отбасыларын сипаттау үшін ерекше пайдалы. Олар сондай-ақ параметрлерді бағалаудың негізін құрайды. Параметрлік модельдер үшін экстремум бағалаушыларда белгілі бір мақсатты функция параметр кеңістігінде максимизацияланады немесе минимализацияланады. Мұндай бағалаушылардың болуы мен дұрыстығы туралы теоремалар параметр кеңістігінің топологиясы туралы кейбір шарттарды талап етеді. Мысалы, параметр кеңістігінің компакттығы, мақсатты функцияның үздіксіздігімен бірге экстремум бағалаушының болуы үшін жеткілікті. Мысалы, көп қабатты перцептрон (Multilayer Perceptron) моделінде, жасырын қабаттың түйіндерін ауыстырғанда функция өзгермейді, бұл желінің салмақ матрицаларын ауыстырумен тең. Бұл қасиет терең салмақ кеңістіктерінің ауыстыруға қатысты эквиваленттігі (equivariance) деп белгілі. Мысалы, темекі шегуші/шемеуші емес жағдайында, параметр кеңістігі төрт мүмкіндіктің келесі жиынтығын құрайды: {(Ер, Темекі шегуші), (Ер, Темекі шемеуші), (Әйел, Темекі шегуші), (Әйел, Темекі шемеуші)}. Логистикалық картада r деген бір параметр бар, ол кез келген оң мәнді қабылдауы мүмкін. Сондықтан параметр кеңістігі – оң нақты сандар. r-дің кейбір мәндері үшін бұл функция бірнеше мән төңірегінде айналып өтеді немесе бір мәнде тоқталады. Бұл ұзақ мерзімді мәндерді r-ге қарсы бифуркациялық диаграммада көрсетуге болады, бұл функцияның r-дің әртүрлі мәндеріндегі әртүрлі мінез-құлқына жатады. Синус толқыны моделінде параметрлер: амплитуда A > 0, бұрыштық жиілік ω > 0 және фаза φ ∈ S1. Осылайша, параметр кеңістігі… Комплекс динамикасында параметр кеңістігі – комплекс жазықтық C = { z = x + y i : x, y ∈ R }, мұнда i² = −1. Белгілі Мандельброт жиыны – бұл параметр кеңістігінің ішкі жиыны, ол комплекс жазықтықтағы нүктелерден тұрады, олардан бастап белгілі бір итерациялық функцияны қайталап қолданғанда шектелген сандар жиынтығын береді. Жиынға кірмейтін қалған нүктелер осы функцияны сол бастапқы нүктеден қайталап қолданғанда шексіз сандар жиынтығын береді (олар шексіздікке ұмтылады).
The logistic map has one parameter, r, which can take any positive value. The parameter space is therefore positive real numbers. For some values of r, this function ends up cycling around a few values or becomes fixed on one value. These long term values can be plotted against r in a bifurcation diagram to show the different behaviours of the function for different values of r.
In a sine wave model the parameters are amplitude A > 0, angular frequency ω > 0, and phase φ ∈ S1. Thus the parameter space is
In complex dynamics, the parameter space is the complex plane C = { z = x + y i : x, y ∈ R }, where i2 = −1. The famous Mandelbrot set is a subset of this parameter space, consisting of the points in the complex plane which give a bounded set of numbers when a particular iterated function is repeatedly applied from that starting point. The remaining points, which are not in the set, give an unbounded set of numbers (they tend to infinity) when this function is repeatedly applied from that starting point.
Тарих
Параметрлік кеңістік геометрияны үш өлшемді кеңістіктің шектерінен босатуға үлкен үлес қосты. Мысалы, үш өлшемдегі сфералардың параметрлік кеңістігі төрт өлшемді болады – үш өлшем сфера ортасы үшін, ал тағы біреуі радиус үшін. Дирк Струик айтқандай, Юлиус Плюккердің 1849 жылғы «Neue Geometrie des Raumes» кітабы геометрияның негізгі элементтері ретінде тек нүктелерге ғана негізделуі міндетті емес екенін көрсетті. Сызықтар, жазықтықтар, шеңберлер, сфералар геометрияның негізі бола алатын элементтер (Raumelemente) ретінде қолданылуы мүмкін. Бұл өнімді идея синтетикалық және алгебралық геометрияға жаңаша түсінік беріп, жаңа дуалдық формаларды құрды. Геометрияның нақты түрінің өлшемдерінің саны «элементті» анықтау үшін қажетті параметрлер санына байланысты кез келген оң санға тең болуы мүмкін. Жоғары өлшемдерге қажеттілік Плюккердің сызықтық геометриясымен мысал келтіріледі. Струик былай деп жазады: [Плюккердің] үш өлшемді кеңістіктегі сызықтардың геометриясын төрт өлшемді геометрия ретінде қарастыруға болады, немесе, Клейн атап өткендей, бес өлшемді кеңістіктегі төрт өлшемді квадриканың геометриясы ретінде қарастыруға болады. Осылайша Клейн квадрикасы кеңістіктегі сызықтардың параметрлерін сипаттайды.
geometry need not solely be based on points as basic elements. Lines, planes, circles, spheres can all be used as the elements (Raumelemente) on which a geometry can be based. This fertile conception threw new light on both synthetic and algebraic geometry and created new forms of duality. The number of dimensions of a particular form of geometry could now be any positive number, depending on the number of parameters necessary to define the "element". The requirement for higher dimensions is illustrated by Plücker's line geometry. Struik writes
[Plücker's] geometry of lines in three space could be considered as a four dimensional geometry, or, as Klein has stressed, as the geometry of a four dimensional quadric in a five dimensional space. Thus the Klein quadric describes the parameters of lines in space.