Введение

Пространство параметров — это пространство возможных значений параметров, определяющих конкретную математическую модель. Его также иногда называют пространством весов, и оно часто является подмножеством конечномерного евклидова пространства. В статистике пространства параметров особенно полезны для описания параметрических семейств распределений вероятностей. Они также служат основой для оценки параметров. В случае экстремальных оценок для параметрических моделей, некоторая целевая функция максимизируется или минимизируется по пространству параметров. Теоремы о существовании и состоятельности таких оценок требуют определенных предположений о топологии пространства параметров. Например, компактность пространства параметров в сочетании с непрерывностью целевой функции достаточно для существования экстремума. Например, в многослойных перцептронах функция остается неизменной при перестановке узлов скрытого слоя, что эквивалентно перестановке матриц весов сети. Это свойство известно как эквивариантность к перестановкам в глубоких пространствах весов, и для случая курильщика/некурильщика, где пространство параметров представляет собой следующий набор из четырех возможностей: {(Мужчина, курильщик), (Мужчина, некурильщик), (Женщина, курильщик), (Женщина, некурильщик)}. Логистическое отображение имеет один параметр, r, который может принимать любое положительное значение. Следовательно, пространство параметров представляет собой множество положительных действительных чисел. Для некоторых значений r эта функция в конечном итоге начинает циклически перебирать несколько значений или стабилизируется на одном значении. Эти долгосрочные значения можно отобразить на графике в зависимости от r в диаграмме бифуркации, чтобы показать различное поведение функции для разных значений r.

В модели синусоидальной волны параметрами являются амплитуда A > 0, угловая частота ω > 0 и фаза φ ∈ S1. Таким образом, пространство параметров представляет собой…

В комплексной динамике пространство параметров — это комплексная плоскость C = {z = x + yi : x, y ∈ R}, где i² = −1. Знаменитое множество Мандельброта является подмножеством этого пространства параметров, состоящим из точек в комплексной плоскости, которые при многократном применении к ним конкретной итерационной функции дают ограниченное множество чисел. Оставшиеся точки, не входящие в множество, при многократном применении к ним этой функции дают неограниченное множество чисел (они стремятся к бесконечности).

История

Параметрическое пространство способствовало освобождению геометрии от ограничений трехмерного пространства. Например, параметрическое пространство сфер в трех измерениях имеет четыре измерения — три для центра сферы и одно для радиуса. По словам Дирка Струика, именно книга «Neue Geometrie des Raumes» (1849) Юлиуса Плюккера показала, что геометрия не обязана основываться исключительно на точках как на базовых элементах. Линии, плоскости, окружности, сферы могут использоваться как элементы (Raumelemente), на которых может быть построена геометрия. Эта плодотворная концепция пролила новый свет как на синтетическую, так и на алгебраическую геометрию и создала новые формы двойственности. Количество измерений конкретной формы геометрии теперь может быть любым положительным числом, в зависимости от количества параметров, необходимых для определения «элемента». Необходимость более высоких измерений иллюстрируется линейной геометрией Плюккера. Струик пишет, что геометрия линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркнул Клейн, как геометрия четырехмерной квадрики в пятимерном пространстве. Таким образом, квадрика Клейна описывает параметры линий в пространстве.