Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Функционалдық талдаудың математикалық саласының бір бөлігі – фон Нейман алгебралары теориясында Томита-Такесаки теориясы белгілі бір инволюцияның полярлық ыдырауы арқылы фон Нейман алгебраларының модульдік автоморфизмдерін құру әдісі болып табылады. Бұл III типтегі факторлар теориясы үшін өте маңызды және осы бұрынғыда зерттеу қиын болған объектілер үшін жақсы құрылымдық теорияны дамытуға мүмкіндік берді. Теорияны Томита енгізген, бірақ оның жұмысын түсіну қиын болды және көбінесе жарияланбады, ал Томитаның теориясы туралы еңбек жазылғанға дейін оған көп көңіл бөлген жоқ.
In the theory of von Neumann algebras, a part of the mathematical field of functional analysis, Tomita–Takesaki theory is a method for constructing modular automorphisms of von Neumann algebras from the polar decomposition of a certain involution. It is essential for the theory of type III factors, and has led to a good structure theory for these previously intractable objects. The theory was introduced by , but his work was hard to follow and mostly unpublished, and little notice was taken of it until wrote an account of Tomita's theory.
Мемлекеттің модульдік автоморфизмдері
М - Хилберт кеңістігінде әрекет ететін фон Нейман алгебрасы, ал Ω - H нормасы 1-ге тең циклдік және бөлуші вектор. (Циклдік дегеніміз – MΩ кеңістігі H-да тығыз, ал бөлуші дегеніміз – M-ден MΩ-ға дейінгі бейнелеу инъективті.) Біз M-нің векторлық күйін былай жазамыз, сондықтан H Гельфанд-Наймaрк-Сегал құрылысын қолдану арқылы құрылады. Ω бөлуші болғандықтан, бұл күй адал. Біз H-дағы S0 антилинейлік операторын MΩ тығыз доменімен, барлық m ∈ M үшін S0(m) = <m, Ω>Ω деп анықтаймыз, және сол сияқты M'Ω тығыз доменімен F0 антилинейлік операторын H-да, барлық m ∈ M' үшін F0(m) = <m, Ω>Ω деп анықтаймыз, мұнда M' – M-нің коммутанты.
Suppose that M is a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H, and Ω is a cyclic and separating vector of H of norm 1. (Cyclic means that MΩ is dense in H, and separating means that the map from M to MΩ is injective.) We write for the vector state of M, so that H is constructed from using the Gelfand–Naimark–Segal construction. Since Ω is separating, is faithful. We can define a (not necessarily bounded) antilinear operator S0 on H with dense domain MΩ by setting for all m in M, and similarly we can define a (not necessarily bounded) antilinear operator F0 on H with dense domain M'Ω by setting for m in M′, where M′ is the commutant of M.
Бұл операторлар жабылады, және олардың жабылуларын S және F = S* деп белгілейміз. Олардың полярлық жіктелулері бар:
These operators are closable, and we denote their closures by S and F = S*. They have polar decompositions
мұндағы – H-тың антилинейлік изометриясы, модульдік конъюгация деп аталады, ал – оң (сонымен қатар, өзін-өзі қосатын) және тығыз анықталған оператор, модульдік оператор деп аталады.
where is an antilinear isometry of H called the modular conjugation and is a positive (hence, self adjoint) and densely defined operator called the modular operator.
III типтегі факторлардың құрылымы
Жоғарыда біз нақты сандар тобынан фон Нейман алгебрасының сыртқы автоморфизм тобына модульдік автоморфизмдер арқылы берілген каноникалық гомоморфизм δ бар екенін көрдік. δ ядросы алгебраның маңызды инварианты болып табылады. Қарапайымдық үшін фон Нейман алгебрасы фактор деп есептейік. Онда δ ядросының мүмкіндіктері:
We have seen above that there is a canonical homomorphism δ from the group of reals to the outer automorphism group of a von Neumann algebra, given by modular automorphisms. The kernel of δ is an important invariant of the algebra. For simplicity assume that the von Neumann algebra is a factor. Then the possibilities for the kernel of δ are:
Нақты сандардың бүкіл түзуі. Бұл жағдайда δ тривиалды болады және фактор I немесе II типті болады. Нақты түзудің дұрыс тығыз кіші тобы. Онда фактор III0 типті фактор деп аталады. Кейбір x > 0 арқылы туындаған дискретті кіші топ. Онда фактор 0 < λ = exp(−2π/x) < 1 болатын IIIλ типті фактор деп аталады, немесе кейде Пауэрс факторы деп те аталады. Тривиальды топ {0}. Онда фактор III1 типті фактор деп аталады. (Бұл белгілі бір мағынада ең көп кездесетін жағдай.)
The whole real line. In this case δ is trivial and the factor is type I or II. A proper dense subgroup of the real line. Then the factor is called a factor of type III0. A discrete subgroup generated by some x > 0. Then the factor is called a factor of type IIIλ with 0 < λ = exp(−2π/x) < 1, or sometimes a Powers factor. The trivial group 0. Then the factor is called a factor of type III1. (This is in some sense the generic case.)