Теория Томиты — Такесаки и классификация факторов фон Неймана.
Tomita–Takesaki theory
Теория Томиты-Такесаки: модулярные автоморфизмы, факторы типа III, вон Неймана алгебры. Основы, цикличные и разделяющие векторы в функциональном анализе.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории алгебр фон Неймана, являющейся частью математической области функционального анализа, теория Томиты — Такасаки представляет собой метод построения модулярных автоморфизмов алгебр фон Неймана на основе полярного разложения определенной инволюции. Она имеет важное значение для теории факторов типа III и позволила создать стройную теорию структуры для этих ранее трудно поддававшихся исследованию объектов. Теория была разработана Томитой, но его работы были сложны для понимания и большей частью остались неопубликованными, и они не получили должного внимания, пока Такасаки не представил изложение теории Томиты.
In the theory of von Neumann algebras, a part of the mathematical field of functional analysis, Tomita–Takesaki theory is a method for constructing modular automorphisms of von Neumann algebras from the polar decomposition of a certain involution. It is essential for the theory of type III factors, and has led to a good structure theory for these previously intractable objects. The theory was introduced by , but his work was hard to follow and mostly unpublished, and little notice was taken of it until wrote an account of Tomita's theory.
Модульные автоморфизмы состояния
Предположим, что M — алгебра фон Неймана, действующая на гильбертово пространство H, а Ω — циклический и разделяющий вектор H нормы 1. (Циклическим называется вектор, для которого MΩ плотно в H, а разделяющим — вектор, для которого отображение из M в MΩ инъективно.) Обозначим через векторное состояние M, так что H конструируется с использованием конструкции Гельфанда — Наимарка — Сегала. Поскольку Ω является разделяющим, является верным. Мы можем определить (не обязательно ограниченный) антилинейный оператор S₀ на H с плотной областью определения MΩ, задав для всех m из M, и аналогично мы можем определить (не обязательно ограниченный) антилинейный оператор F₀ на H с плотной областью определения M'Ω, задав для m из M', где M' — коммутант M.
Suppose that M is a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H, and Ω is a cyclic and separating vector of H of norm 1. (Cyclic means that MΩ is dense in H, and separating means that the map from M to MΩ is injective.) We write for the vector state of M, so that H is constructed from using the Gelfand–Naimark–Segal construction. Since Ω is separating, is faithful. We can define a (not necessarily bounded) antilinear operator S0 on H with dense domain MΩ by setting for all m in M, and similarly we can define a (not necessarily bounded) antilinear operator F0 on H with dense domain M'Ω by setting for m in M′, where M′ is the commutant of M.
These operators are closable, and we denote their closures by S and F = S*. They have polar decompositions
where is an antilinear isometry of H called the modular conjugation and is a positive (hence, self adjoint) and densely defined operator called the modular operator.
Эти операторы являются замыкаемыми, и мы обозначаем их замыкания S и F = S*. Они имеют полярные разложения:
Suppose that M is a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H, and Ω is a cyclic and separating vector of H of norm 1. (Cyclic means that MΩ is dense in H, and separating means that the map from M to MΩ is injective.) We write for the vector state of M, so that H is constructed from using the Gelfand–Naimark–Segal construction. Since Ω is separating, is faithful. We can define a (not necessarily bounded) antilinear operator S0 on H with dense domain MΩ by setting for all m in M, and similarly we can define a (not necessarily bounded) antilinear operator F0 on H with dense domain M'Ω by setting for m in M′, where M′ is the commutant of M.
These operators are closable, and we denote their closures by S and F = S*. They have polar decompositions
where is an antilinear isometry of H called the modular conjugation and is a positive (hence, self adjoint) and densely defined operator called the modular operator.
,
Suppose that M is a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H, and Ω is a cyclic and separating vector of H of norm 1. (Cyclic means that MΩ is dense in H, and separating means that the map from M to MΩ is injective.) We write for the vector state of M, so that H is constructed from using the Gelfand–Naimark–Segal construction. Since Ω is separating, is faithful. We can define a (not necessarily bounded) antilinear operator S0 on H with dense domain MΩ by setting for all m in M, and similarly we can define a (not necessarily bounded) antilinear operator F0 on H with dense domain M'Ω by setting for m in M′, where M′ is the commutant of M.
These operators are closable, and we denote their closures by S and F = S*. They have polar decompositions
where is an antilinear isometry of H called the modular conjugation and is a positive (hence, self adjoint) and densely defined operator called the modular operator.
где — антилинейная изометрия H, называемая модулярным сопряжением, а — положительный (следовательно, самосопряженный) и плотно определенный оператор, называемый модулярным оператором.
Suppose that M is a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H, and Ω is a cyclic and separating vector of H of norm 1. (Cyclic means that MΩ is dense in H, and separating means that the map from M to MΩ is injective.) We write for the vector state of M, so that H is constructed from using the Gelfand–Naimark–Segal construction. Since Ω is separating, is faithful. We can define a (not necessarily bounded) antilinear operator S0 on H with dense domain MΩ by setting for all m in M, and similarly we can define a (not necessarily bounded) antilinear operator F0 on H with dense domain M'Ω by setting for m in M′, where M′ is the commutant of M.
These operators are closable, and we denote their closures by S and F = S*. They have polar decompositions
where is an antilinear isometry of H called the modular conjugation and is a positive (hence, self adjoint) and densely defined operator called the modular operator.
Структура факторов типа III
Мы видели выше, что существует канонический гомоморфизм δ из группы вещественных чисел во внешнюю группу автоморфизмов алгебры фон Неймана, заданный модулярными автоморфизмами. Ядро δ является важным инвариантом алгебры. Для упрощения предположим, что алгебра фон Неймана является фактором. Тогда возможные варианты для ядра δ следующие:
We have seen above that there is a canonical homomorphism δ from the group of reals to the outer automorphism group of a von Neumann algebra, given by modular automorphisms. The kernel of δ is an important invariant of the algebra. For simplicity assume that the von Neumann algebra is a factor. Then the possibilities for the kernel of δ are:
Вся вещественная прямая. В этом случае δ тривиален, и фактор относится к типу I или II. Собственная плотная подгруппа вещественной прямой. Тогда фактор называется фактором типа III₀. Дискретная подгруппа, порожденная некоторым x > 0. Тогда фактор называется фактором типа IIIλ, где 0 < λ = exp(−2π/x) < 1, или иногда фактором Пауэрса. Тривиальная группа 0. Тогда фактор называется фактором типа III₁. (В некотором смысле это наиболее общий случай.)
The whole real line. In this case δ is trivial and the factor is type I or II. A proper dense subgroup of the real line. Then the factor is called a factor of type III0. A discrete subgroup generated by some x > 0. Then the factor is called a factor of type IIIλ with 0 < λ = exp(−2π/x) < 1, or sometimes a Powers factor. The trivial group 0. Then the factor is called a factor of type III1. (This is in some sense the generic case.)