Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Милнордың К-теориясы – алгебралық инвариант (көрсетілгені ), бірқатар өрістер үшін анықталған, жоғары алгебралық К-теорияны өрістердің ерекше жағдайында зерттеу әрекеті ретінде қарастырылады. Осы теория алгебралық К-теорияның құрылымын түсінуге көмектеседі деп үміттенілді, сондай-ақ Галуа когомологиясы және квадраттық формалардың Гротендик-Витт сақинасы сияқты математиканың басқа салаларымен байланысын анықтауға көмектеседі. Милнордың К-теориясы анықталғанға дейін, үшін және үшін жеке анықтамалар бар еді. Ақыр соңында, Милнордың К-теориясы алгебралық К-теорияның бір бөлігі екенін көрсету мүмкін, және жалпы алғанда, оны есептеу оңай.
In mathematics, Milnor K theory is an algebraic invariant (denoted for a field ) defined by as an attempt to study higher algebraic K theory in the special case of fields. It was hoped this would help illuminate the structure for algebraic K theory and give some insight about its relationships with other parts of mathematics, such as Galois cohomology and the Grothendieck–Witt ring of quadratic forms. Before Milnor K theory was defined, there existed ad hoc definitions for and Fortunately, it can be shown Milnor K theory is a part of algebraic K theory, which in general is the easiest part to compute.
Жоғары Чоу топтары мен Квилленнің жоғары К-теориясы арасындағы байланыс
Милнор К-теориясын жоғары алгебралық К-теориясына байланыстыратын негізгі қасиеттердің бірі – Блохтың жоғары Шой топтарына табиғи изоморфизмдердің болуы, ол сыныпталған сақиналардың морфизмін тудырады. Бұл нақты морфизмді қолдану арқылы тексерілуі мүмкін. Бұл пре-орамның қималары – коэффициенттері бар, өлшемді және үстінде шекті циклдардың эквиваленттілік кластары болып табылады (бұл анықтамасынан тікелей шығады). Мотивтік Эйленберг-Маклейн орамдарымен әлсіз эквиваленттілік бар екенін көрсетуге болады (бағалау конвенциясына байланысты).
One of the core properties relating Milnor K theory to higher algebraic K theory is the fact there exists natural isomorphisms to Bloch's Higher chow groups which induces a morphism of graded rings This can be verified using an explicit morphismpg 4 Note that sections of this pre sheaf are equivalent classes of cycles on with coefficients in which are equidimensional and finite over (which follows straight from the definition of ). It can be shown there is an weak equivalence with the motivic Eilenberg Maclane sheaves (depending on the grading convention).
Шекті өрістер
Шекті өріс үшін , - циклдік топ (оның -ға изоморфты болғаны үшін), сондықтан градуалды коммутативтілік мынаны береді, демек . топ шекті болғандықтан, оның тәртібі болуы керек. Әрі қарай, -ні әрқашан квадраттық қалдық емес элементтердің қосындысы ретінде көрсетуге болады, яғни, мұнда элементтер болатындай , сондықтан. Штейберг қатынастары Милнор К-теориясы сақинасындағы барлық қатынастарды тудыратындықтан, үшін .
For a finite field , is a cyclic group of order (since is it isomorphic to ), so graded commutativity gives hence Because is a finite group, this implies it must have order Looking further, can always be expressed as a sum of quadratic non residues, i. e. elements such that are not equal to , hence showing Because the Steinberg relations generate all relations in the Milnor K theory ring, we have for .
Нақты сандар
Нақты сандар өрісі үшін Милнор К-теориясы топтарын оңай есептеуге болады. Белгілі дәрежеде топ, арқылы туындайды, мұнда тәртібі болатын топты береді, ал арқылы туындайтын топ бөлінеді. арқылы туындайтын топ бөлінбейді, себебі оны квадраттардың қосындысы түрінде жазуға болар еді. Милнор К-теориясы сақинасы мотивтік гомотопия теориясын зерттеуде маңызды, өйткені ол мотивтік Стинрод алгебрасының бір бөлігі үшін генераторлар береді. Қалғандары классикалық Стинрод операцияларынан мотивтік когомологияға көтерілген элементтер болып табылады.
For the field of real numbers the Milnor K theory groups can be readily computed. In degree the group is generated by where gives a group of order and the subgroup generated by the is divisible. The subgroup generated by is not divisible because otherwise it could be expressed as a sum of squares. The Milnor K theory ring is important in the study of motivic homotopy theory because it gives generators for part of the motivic Steenrod algebra. The others are lifts from the classical Steenrod operations to motivic cohomology.