Введение

В математике, K-теория Милнора — это алгебраический инвариант (обозначаемый для поля ), определённый как попытка изучить высшую алгебраическую K-теорию в частном случае полей. Возлагались надежды, что это поможет прояснить структуру алгебраической K-теории и даст некоторое понимание её связей с другими областями математики, такими как кохомология Галуа и кольцо Гротендика — Витта квадратичных форм. До определения K-теории Милнора существовали отдельные определения для и . К счастью, можно показать, что K-теория Милнора является частью алгебраической K-теории, которая в общем случае является наиболее лёгкой для вычисления.

Связь с группами высшего чау и теорией К-высшего Квиллена

Одним из ключевых свойств, связывающих K-теорию Милнора с высшей алгебраической K-теорией, является существование естественных изоморфизмов в группы высших Чоу Блоха, индуцирующих морфизм градуированных колец. Это можно проверить, используя явный морфизм (стр. 4). Отметим, что сечения этого предпучка – это классы эквивалентности циклов на с коэффициентами в , которые являются равноразмерными и конечными над (что непосредственно следует из определения ). Можно показать, что существует слабая эквивалентность с мотивными снопами Эйленберга — Маклейна (в зависимости от соглашения о градуировке).

Определенные поля

Для конечного поля , является циклической группой порядка (поскольку она изоморфна к ), поэтому градуированная коммутативность дает , следовательно, . Поскольку является конечной группой, это подразумевает, что она должна иметь порядок. Более того, всегда можно выразить как сумму квадратичных невычетов, то есть элементов , таких что не равны , следовательно, показывая, что поскольку отношения Штейнберга порождают все отношения в кольце теории Милнора K, мы имеем для .

Реальные числа

Для поля вещественных чисел группы K-теории Милнора могут быть легко вычислены. В степени группа порождается элементами вида , где дает группу порядка , а подгруппа, порожденная элементами , является делимой. Подгруппа, порожденная элементами , не является делимой, поскольку в противном случае ее можно было бы представить в виде суммы квадратов. Кольцо K-теории Милнора важно при изучении мотивной гомотопической теории, так как оно предоставляет генераторы для части мотивной алгебры Стинрода. Остальные являются поднятиями классических операций Стинрода в мотивную когомологию.