Ноэтерлік топологиялық кеңістік: жабық жиын тізбегінің тоқтауы, ашық жиын тізбегінің өсуі, мүліктері, және тұйықталған кеңістіктер туралы математикалық анықтама.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, Эмми Нотер есімімен аталған Нотерлік топологиялық кеңістік – жабық ішкі жиындар төмендеу тізбегі шартын орындалатын топологиялық кеңістік. Балама ретінде, ашық ішкі жиындар жоғарылату тізбегі шартын орындалатынын айтуға болады, себебі олар жабық ішкі жиындардың толықтыруларын құрайды. Топологиялық кеңістіктің Нотерлік қасиеті сондай-ақ күшті ықшамдық шарты ретінде қарастырылуы мүмкін, атап айтқанда, мұндай кеңістіктің кез келген ашық ішкі жиыны ықшам, және іс жүзінде, кез келген ішкі жиын ықшам дегеннен де күшті.
In mathematics, a Noetherian topological space, named for Emmy Noether, is a topological space in which closed subsets satisfy the descending chain condition. Equivalently, we could say that the open subsets satisfy the ascending chain condition, since they are the complements of the closed subsets. The Noetherian property of a topological space can also be seen as a strong compactness condition, namely that every open subset of such a space is compact, and in fact it is equivalent to the seemingly stronger statement that every subset is compact.
Қасиеттері
Топологиялық кеңістік Ноэтериан болып табылады, егер және тек қана егер оның барлық субкеңістіктері компактты болса (яғни, мұрагерлік бойынша компактты), және егер және тек қана егер оның барлық ашық субкеңістіктері компактты болса. Ноэтериан кеңістіктің кез келген субкеңістігі Ноэтериан болады. Ноэтериан кеңістіктің үздіксіз бейнесі Ноэтериан болады. Топологиялық кеңістіктің Ноэтериан субкеңістіктерінің шекті бірігімі Ноэтериан болады. Кез келген Хаусдорф Ноэтериан кеңістігі дискретті топологиямен шекті. Дәлел: Хаусдорф кеңістігінде X-тің кез келген ішкі жиыны компактты, демек жабық. Олай болса, X дискретті топологияға ие, ал компакт болғандықтан, ол шекті болуы керек. Кез келген Ноэтериан X кеңістігінде шекті сандағы ирредуктибел компоненттер бар. Егер ирредуктибел компоненттер , болса, , және компоненттердің ешқайсысы басқа компоненттердің бірігіміне кірмейді.
A topological space is Noetherian if and only if every subspace of is compact (i. e., is hereditarily compact), and if and only if every open subset of is compact. Every subspace of a Noetherian space is Noetherian. The continuous image of a Noetherian space is Noetherian. A finite union of Noetherian subspaces of a topological space is Noetherian. Every Hausdorff Noetherian space is finite with the discrete topology. Proof: Every subset of X is compact in a Hausdorff space, hence closed. So X has the discrete topology, and being compact, it must be finite. Every Noetherian space X has a finite number of irreducible components. If the irreducible components are , then , and none of the components is contained in the union of the other components.
Алгебралық геометриядан
Ноэтерлік топологиялық кеңістіктердің көптеген мысалдары алгебралық геометриядан шығады, онда Зариски топологиясы үшін ирредуктивті жиынның кез келген жабық, дұрыс қосалқы жиынының өлшемі кішірек болатындығы интуитивті түрде түсініледі. Өлшем тек шекті ретте ғана 'төмендей алады', ал алгебралық жиындар ирредуктивті жиындардың шекті біріктірілісінен құралғандықтан, Зариски жабық жиындарының төмендеу тізбектері әрі қарай тұрақты болуы керек. Бұны алгебралық тұрғыдан қарастырғанда, алгебралық жиындарды анықтайтын байланысты идеалдар өсу тізбегі шартын қанағаттандыруы керек. Бұл алгебралық геометрия сақиналары классикалық мағынада Ноэтер сақиналары болғандықтан осылай болады. Сондықтан осы мысалдар класы атаудың себебін де түсіндіреді. Егер R коммутативті Ноэтер сақина болса, онда Spec(R), R сақинасының негізгі спектрі, Ноэтерлік топологиялық кеңістік болады. Көбірек айтқанда, Ноэтерлік схема – Ноэтерлік топологиялық кеңістік. Керісіне, бір ғана негізгі идеалға ие, бірақ Ноэтерлік емес сақиналар бар, сондықтан Spec(R) тек бір нүктеден тұрады және демек, ол Ноэтерлік кеңістік болып табылады.
Many examples of Noetherian topological spaces come from algebraic geometry, where for the Zariski topology an irreducible set has the intuitive property that any closed proper subset has smaller dimension. Since dimension can only 'jump down' a finite number of times, and algebraic sets are made up of finite unions of irreducible sets, descending chains of Zariski closed sets must eventually be constant. A more algebraic way to see this is that the associated ideals defining algebraic sets must satisfy the ascending chain condition. That follows because the rings of algebraic geometry, in the classical sense, are Noetherian rings. This class of examples therefore also explains the name. If R is a commutative Noetherian ring, then Spec(R), the prime spectrum of R, is a Noetherian topological space. More generally, a Noetherian scheme is a Noetherian topological space. The converse does not hold, since there are non Noetherian rings with only one prime ideal, so that Spec(R) consists of exactly one point and therefore is a Noetherian space.