Введение
В математике, ноэтерово топологическое пространство, названное в честь Эмми Ноэтер, — это топологическое пространство, в котором замкнутые подмножества удовлетворяют условию убывающей цепи. Эквивалентно, можно сказать, что открытые подмножества удовлетворяют условию возрастающей цепи, поскольку они являются дополнениями к замкнутым подмножествам. Ноэтерово свойство топологического пространства также можно рассматривать как сильное условие компактности, а именно, что любое открытое подмножество такого пространства компактно, и на самом деле оно эквивалентно, казалось бы, более сильному утверждению, что любое подмножество компактно.
Свойства
Топологическое пространство является ноэтерианским тогда и только тогда, когда каждое его подпространство компактно (то есть является наследственно компактным), и тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество компактно. Каждое подпространство ноэтерианского пространства является ноэтерианским. Непрерывный образ ноэтерианского пространства является ноэтерианским. Конечный союз ноэтерианских подпространств топологического пространства является ноэтерианским. Каждое хаусдорфово ноэтерианское пространство конечно с дискретной топологией. Доказательство: Каждое подмножество X компактно в хаусдорфовом пространстве, следовательно, замкнуто. Таким образом, X имеет дискретную топологию, и, будучи компактным, оно должно быть конечным. Каждое ноэтерианское пространство X имеет конечное число неразложимых компонент. Если неразложимые компоненты — это , то , и ни одна из компонент не содержится в объединении остальных компонент.
Из алгебраической геометрии
Многие примеры ноэтеровых топологических пространств возникают в алгебраической геометрии, где для топологии Зариски необратимое множество обладает интуитивным свойством: любое собственное замкнутое подмножество имеет меньшую размерность. Поскольку размерность может "уменьшаться" лишь конечное число раз, а алгебраические множества состоят из конечных объединений необратимых множеств, убывающие цепи замкнутых множеств Зариски рано или поздно должны стабилизироваться. Более алгебраически это можно увидеть так: соответствующие идеалы, определяющие алгебраические множества, должны удовлетворять условию восходящей цепи. Это следует из того, что кольца алгебраической геометрии в классическом смысле являются нётеровыми кольцами. Поэтому этот класс примеров также объясняет происхождение названия. Если R – коммутативное нётерово кольцо, то Spec(R), спектр простых идеалов R, является ноэтеровым топологическим пространством. В более общем случае, нётерова схема – это ноэтерово топологическое пространство. Обратное неверно, поскольку существуют не-нётеровы кольца, содержащие только один простой идеал, так что Spec(R) состоит ровно из одной точки и, следовательно, является ноэтеровым пространством.