Кіріспе

Алгебралық геометрияда (алгебралық) қисықтардың модульдік кеңістігі — геометриялық кеңістік (әдетте схема немесе алгебралық стек), оның нүктелері алгебралық қисықтардың изоморфизм кластарын көрсетеді. Бұл модульдік кеңістіктің ерекше жағдайы. Алгебралық қисықтар кластарына қолданылатын шектеулерге байланысты, тиісті модульдік проблема және модульдік кеңістік өзгеше болады. Бір модульдік проблема үшін нақты және жуан модульдік кеңістіктерді де ажыратады. Ең қарапайым мәселе — белгілі бір туысқан (genus) тегіс толық қисықтардың модульдері. Кешенді сандар өрісінде бұл берілген туысқа сәйкес келетін компактты Риман беттерімен дәл сәйкес келеді, олар үшін Бернхард Риман модульдік кеңістіктер туралы алғашқы нәтижелерді, әсіресе олардың өлшемдерін ("кешенді құрылымның тәуелділігіне байланысты параметрлер саны") дәлелдеді.

Тұрақты қисықтардың модульді үйірмелер

Модульдік стек тегіс проективті қисықтардың отбасыларын, олардың изоморфизмдерімен бірге жіктейді. Бұл стек тұрақты түйіндік қисықтарға (олардың изоморфизмдерімен бірге) сәйкес келетін жаңа "шекаралық" нүктелерді қосу арқылы тығыздатылуы мүмкін. Қисық тұрақты болып есептеледі, егер ол толық, байланысқан, қос нүктелерден басқа ешқандай сингулярлықтары болмаса және тек шекті автоморфизмдер тобына ие болса. Нәтижесінде алынған стек – . Екі модульдік стек те қисықтардың универсалды отбасыларын камтиды. Жоғарыдағы екі стек те өлшемге ие; сондықтан тұрақты түйіндік қисық параметрлердің мәндерін таңдау арқылы толық анықталуы мүмкін, ал төменгі родта олардың санын алып тастау арқылы автоморфизмдердің тегіс отбасыларының болуын ескеру қажет. Гені нөлге тең болатын жалғыз бір комплекс қисығы бар, ол Риман сферасы, ал оның изоморфизмдер тобы PGL(2) болады. Сондықтан, -ның өлшемдері тең.

Сонымен қатар, гені 1-ге тең жағдайда қисықтардың бір өлшемді кеңістігі бар, бірақ әрбір мұндай қисық автоморфизмдердің бір өлшемді тобына ие. Сондықтан, стек -ның өлшемдері 0-ге тең.

Тазалық

Дұрыстық, немесе орбиталық қатпарлар үшін ықшамдық, қисықтардағы тұрақты азайту туралы теоремадан туындайды. Көптеген авторлар бір белгіленген нүктесі бар бірінші туыс қисықтарын топтың бастапқы нүктесі ретінде қарастырады, әйтпесе гипотетикалық модульдік кеңістіктегі тұрақтандырғыш топ қисықпен берілген нүктеде тұрақтандырғыш топқа ие болар еді, себебі эллипстік қисықтарда абелдік топ құрылымы бар. Бұл гипотетикалық модульдік кеңістікке қажетсіз техникалық қиындықтар қосады. Екінші жағынан, бұл тегіс Делинь-Мамфорд үймесі болып табылады.

Рационалдылықсыздық болжамы

Бұрынғы барлық жағдайларда модульді кеңістіктер унирационалды болып табылады, яғни үстемді рационалды морфизмнің бар екендігі анықталады және бұл барлық родтарда осылай болады деп ұзақ уақыт күтілген. Шындығында, Севери бұл тұжырымды родтары g-ға дейін дәлелдеген. Алайда, g родтары үшін барлық мұндай модульді кеңістіктер жалпы типті болып табылады, яғни унирационалды емес. Олар бұл нәтижеге ірі модульді кеңістіктердің Кодайра өлшемін зерттеу арқылы қол жеткізді және g үшін Кодайра өлшемі тең екенін анықтады. Шын мәнінде, g үшін және де, сондықтан g жалпы типті болып табылады.

Геометриялық мән

Бұл геометриялық тұрғыдан маңызды, себебі бұл ережелі сорттағы кез келген сызықтық жүйеде әмбебап қисық қамтылмайды дегенді білдіреді.