Введение

В алгебраической геометрии модульное пространство (алгебраических) кривых — это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек), точки которого представляют классы изоморфизма алгебраических кривых. Таким образом, это частный случай модульного пространства. В зависимости от ограничений, накладываемых на рассматриваемые классы алгебраических кривых, соответствующая задача модулей и модульное пространство различаются. Также различают тонкие и грубые модульные пространства для одной и той же задачи модулей. Наиболее фундаментальной задачей является задача модулей гладких полных кривых фиксированного рода. Над полем комплексных чисел они точно соответствуют компактным римановым поверхностям заданного рода, для которых Бернхард Риман впервые получил результаты о модульных пространствах, в частности, об их размерностях ("число параметров, определяющих комплексную структуру").

Модульные стеки стабильных кривых

Стойка модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых вместе с их изоморфизмами. Когда , этот стек может быть компактфицирован добавлением новых "граничных" точек, которые соответствуют стабильным узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая является стабильной, если она полная, связная, не имеет сингулярностей, кроме двойных точек, и имеет лишь конечную группу автоморфизмов. Полученный стек обозначается . Оба стека модулей несут универсальные семейства кривых. Оба вышеупомянутых стека имеют размерность ; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью задана выбором значений параметров, когда при малых родах необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая рода ноль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов — PGL(2). Следовательно, размерность равна .

Аналогично, в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, стек имеет размерность 0.

Чистота

Собственность, или компактность для орбитальных многообразий, следует из теоремы о стабильном приведении на кривых. Следует отметить, что большинство авторов рассматривают случай кривых рода один с одной отмеченной точкой как начало координат группы, поскольку в противном случае стабилизаторная группа в гипотетическом пространстве модулей имела бы стабилизатор в точке, определяемой кривой, так как эллиптические кривые обладают структурой абелевой группы. Это добавляет ненужную техническую сложность в это гипотетическое пространство модулей. С другой стороны, это гладкий Deligne–Mumford стек.

Гипотеза нерациональности

Во всех предыдущих случаях пространства модулей оказываются унирациональными, то есть существует доминирующий рациональный морфизм, и долгое время ожидалось, что это будет верно для всех родов. Фактически, Севери доказал это для родов вплоть до Однако, оказалось, что для рода g ≥ 6 все такие пространства модулей являются общего типа, то есть не являются унирациональными. Они достигли этого, изучая размерность Кодайры грубых пространств модулей и обнаружили, что для g = 6, размерность Кодайры равна 0, а для g ≥ 7, размерность Кодайры положительна, и, следовательно, пространство модулей является общего типа.

Геометрические значения

Это существенно с геометрической точки зрения, поскольку подразумевает, что любая линейная система на рулируемом многообразии не может содержать универсальную кривую.