Алгебралық сандар теориясындағы Гильберт классы денесі
Hilbert class field
Алгебралық сан теориясында Хилберт кластық денесі – сан денесінің максималды абелдік тармақталмаған кеңейтілуі. Класс санымен байланысты, идеалдық топпен изоморфты.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық сандар теориясында, K сандар өрісінің Хилберт класы өрісі E – K-ның максимал абельдік тармақталмаған кеңейтімі. Оның K-ға қатысты дәрежесі K-ның кластық санына тең, ал E-нің K-ға қатысты Галуа тобы K-дағы жай сандардың идеалдары үшін Фробен элементтерін қолдана отырып, K-ның идеалдық кластық тобына каноникалық изоморфты.
In algebraic number theory, the Hilbert class field E of a number field K is the maximal abelian unramified extension of K. Its degree over K equals the class number of K and the Galois group of E over K is canonically isomorphic to the ideal class group of K using Frobenius elements for prime ideals in K.
Осы контексте, K-ның Хилберт класы өрісі тек шекті орындарда ғана емес (классикалық идеалдық теориялық түсіндірме), сонымен қатар K-ның шексіз орындарында да тармақталмайды. Яғни, K-ның кез келген нақты енгізілуі E-нің нақты енгізілуіне дейін кеңейтіледі (E-нің кешенді енгізілуіне емес).
In this context, the Hilbert class field of K is not just unramified at the finite places (the classical ideal theoretic interpretation) but also at the infinite places of K. That is, every real embedding of K extends to a real embedding of E (rather than to a complex embedding of E).
Мысалдар
Егер K бүтін сандарының сақинасы бірегей факторлау домені болса, әсіресе егер , онда K өзінің Хилберт класы өрісі болып табылады. Дискриминанты бар өріс және K-нің барлық жерде бұтақталмаған кеңейтімі, және ол абельдік. Минковский шегін пайдаланып, K-нің сынып саны 2 екенін көрсетуге болады. Сондықтан, оның Хилберт класы өрісі K-нің негізгі емес идеалы (2,(1+)/2) болып табылады, ал L-де бұл негізгі идеалға айналады ((1+)/2). Өрістің сынып саны 3-ке тең. Оның Хилберт класы өрісі 23 дискриминанты бар x³ - x - 1 теңдеуінің түбірін қосу арқылы құрылуы мүмкін. Архимедтік жай сандардағы тармақталуды неге ескеру керектігін түсіну үшін, 3-тің квадрат түбірін Q-ға қосу арқылы алынған K нақты квадрат өрісін қарастырайық. Бұл өрістің сынып саны 1 және дискриминанты 12-ге тең, бірақ 9=3² дискриминантының K(i)/K кеңейтімі K-дегі барлық жай идеалдарда бұтақталмаған, сондықтан K барлық соңғы жай сандары бұтақталмаған 1-ден жоғары дәрежедегі шекті абельдік кеңейтулерді қабылдайды. Бұл K-нің Хилберт класы өрісінің K-ның өзі болуына қайшы келмейді: K-ның кез келген дұрыс емес шекті абельдік кеңейтілуі белгілі бір жерде тармақталуы керек, ал K(i)/K кеңейтімінде Архимед орындарында тармақталу бар: K-ның нақты енгізулері K(i)-нің кешенді (нақты емес) енгізулеріне дейін кеңейтіледі. Кешенді көбейту теориясы бойынша, жорамал квадрат өрістің Хилберт класы өрісі бүтін сандар сақинасының генераторындағы эллиптік модульдік функцияның мәнімен (Z модулі ретінде) туындайды.
If the ring of integers of K is a unique factorization domain, in particular if , then K is its own Hilbert class field. Let of discriminant The field has discriminant and so is an everywhere unramified extension of K, and it is abelian. Using the Minkowski bound, one can show that K has class number 2. Hence, its Hilbert class field is A non principal ideal of K is (2,(1+)/2), and in L this becomes the principal ideal ((1+)/2). The field has class number 3. Its Hilbert class field can be formed by adjoining a root of x3 x 1, which has discriminant 23. To see why ramification at the archimedean primes must be taken into account, consider the real quadratic field K obtained by adjoining the square root of 3 to Q. This field has class number 1 and discriminant 12, but the extension K(i)/K of discriminant 9=32 is unramified at all prime ideals in K, so K admits finite abelian extensions of degree greater than 1 in which all finite primes of K are unramified. This doesn't contradict the Hilbert class field of K being K itself: every proper finite abelian extension of K must ramify at some place, and in the extension K(i)/K there is ramification at the archimedean places: the real embeddings of K extend to complex (rather than real) embeddings of K(i). By the theory of complex multiplication, the Hilbert class field of an imaginary quadratic field is generated by the value of the elliptic modular function at a generator for the ring of integers (as a Z module).
Тарих
Берілген K сандық өрісі үшін (тар) Хилберт класының өрісінің бар екендігі Филипп Фуртвенглер тарапынан болжанды және дәлелденді. Хилберт кластық өрісінің болуы берілген өрістің идеалдық кластық тобының құрылымын зерттеудегі бағалы құрал болып табылады.
The existence of a (narrow) Hilbert class field for a given number field K was conjectured by and proved by Philipp Furtwängler. The existence of the Hilbert class field is a valuable tool in studying the structure of the ideal class group of a given field.
Жауапты құрылымдар
Егер K қиялдық квадраттық болса және A - K сақинасының бүтін сандарымен күрделі көбейтуі бар эллиптік қисық болса, онда A-ның j-инвариантын K-ға қосу Гилберт кластық өрісін тудырады.
If K is imaginary quadratic and A is an elliptic curve with complex multiplication by the ring of integers of K, then adjoining the j invariant of A to K gives the Hilbert class field.
Жалпылау
Сыныптық өріс теориясында, берілген модульге қатысты сәулелік кластық өріс зерттеледі, ол жай идеалдардың формальды көбейтіндісі болып табылады (мүмкін, Архимедтің жай идеалдары да кіре алады). Сәулелік кластық өріс – модульді бөлетін жай сандарда тармақталмайтын және модульді бөлетін жай сандардағы нақты тармақталу шартын қанағаттандыратын максималды абелдік кеңею болып табылады. Гильберт класының өрісі – тривиалды модуль 1-ге қатысты сәулелік кластық өріс. Тар кластық өріс – барлық шексіз жай сандардан тұратын модульге қатысты сәулелік кластық өріс. Мысалы, жоғарыдағы аргумент көрсеткендей, -тың тар кластық өрісі болып табылады.
In class field theory, one studies the ray class field with respect to a given modulus, which is a formal product of prime ideals (including, possibly, archimedean ones). The ray class field is the maximal abelian extension unramified outside the primes dividing the modulus and satisfying a particular ramification condition at the primes dividing the modulus. The Hilbert class field is then the ray class field with respect to the trivial modulus 1. The narrow class field is the ray class field with respect to the modulus consisting of all infinite primes. For example, the argument above shows that is the narrow class field of .