Введение

В алгебраической теории чисел, поле класса Гильберта E числового поля K является максимальным абелевым неразветвлённым расширением K. Его степень над K равна числу класса K, а группа Галуа поля E над K канонически изоморфна группе классов идеалов K посредством элементов Фробениуса для простых идеалов в K.

В этом контексте поле класса Гильберта K неразветвлено не только в конечных местах (классическая идеало-теоретическая интерпретация), но и в бесконечных местах K. То есть, любое действительное вложение K расширяется до действительного вложения E (а не до комплексного вложения E).

Примеры

Если кольцо целых чисел K является областью однозначной факторизации, в частности если , то K является своим собственным полем класса Гильберта. Пусть дискриминант Поле имеет дискриминант и, следовательно, является всюду неразветвленным расширением K и является абелевым. Используя оценку Минковского, можно показать, что K имеет число класса 2. Следовательно, его поле класса Гильберта – это A неглавный идеал K имеет вид (2, (1+)/2), а в L он становится главным идеалом ((1+)/2). Поле имеет число класса 3. Его поле класса Гильберта можно получить, присоединяя корень уравнения x³ - x - 1, который имеет дискриминант 23. Чтобы понять, почему необходимо учитывать разветвление в архимедовых простых числах, рассмотрим действительное квадратичное поле K, полученное присоединением к Q квадратного корня из 3. Это поле имеет число класса 1 и дискриминант 12, но расширение K(i)/K с дискриминантом 9 = 3² неразветвлено во всех простых идеалах в K, поэтому K допускает конечные абелевы расширения степени больше 1, в которых все конечные простые числа K неразветвлены. Это не противоречит тому, что поле класса Гильберта K является самим K: каждое собственное конечное абелево расширение K должно разветвляться в некотором месте, и в расширении K(i)/K разветвление происходит в архимедовых местах: действительные вложения K расширяются до комплексных (а не действительных) вложений K(i). Согласно теории комплексного умножения, поле класса Гильберта мнимого квадратичного поля порождается значением эллиптической модулярной функции в генераторе кольца целых чисел (как Z-модуля).

История

Существование (узкого) поля класса Гильберта для заданного числового поля K было предположено и доказано Филиппом Фуртвенглером. Существование поля класса Гильберта является важным инструментом при изучении структуры группы классов идеалов заданного поля.

Явные конструкции

Если K — мнимое квадратичное поле, а A — эллиптическая кривая с комплексным умножением на кольцо целых чисел K, то присоединение j-инварианта A к K даёт поле классов Гильберта.

Обобщения

В теории классовых полей изучается поле класса лучей относительно заданного модуля, который является формальным произведением простых идеалов (включая, возможно, архемедовы). Поле класса лучей — это максимальное абелево расширение, не ветвящееся вне простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления в простых числах, делящих модуль. Поле класса Гильберта является тогда полем класса лучей относительно тривиального модуля 1. Узкое классовое поле — это поле класса лучей относительно модуля, состоящего из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что является узким классовым полем .