Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометриядағы топологиялық ұғым Эталь немесе алгебралық фундаменталды топ - алгебралық геометриядағы схемалар үшін топологиялық кеңістіктердің әдеттегі фундаменталды тобының аналогы.
Topological concept in algebraic geometry
The étale or algebraic fundamental group is an analogue in algebraic geometry, for schemes, of the usual fundamental group of topological spaces.
Топологиялық аналог/бейресми талқылау
Алгебралық топологияда нүктелі топологиялық кеңістіктің негізгі тобы - бұл циклдердің гомотопиялық кластарының тобы. Бұл анықтама нақты және күрделі көптүрліліктер сияқты кеңістік үшін жақсы жұмыс істейді, бірақ Зариски топологиясы бар алгебралық түрлер үшін жағымсыз нәтиже береді. Қаптамалық кеңістіктерді жіктеуде негізгі топ жалпы қаптамалық кеңістіктің палубалық түрлендірулер тобы болып табылады. Бұл әлдеқайда уәде береді: алгебралық сорттардың шекті этальды морфизмдері топологиялық кеңістіктерді қамтудың тиісті аналогы болып табылады. Өкінішке орай, алгебралық түрлiлiкте көбiнесе "жалпы жапқыш" жоқ, ол шекті , сондықтан бір адам шекті эталь жапқыштарының бүкіл санатын қарастыруы керек. Содан кейін бір адам эталь негізгі тобын шекті автоморфизм топтарының кері шегі ретінде анықтай алады.
In algebraic topology, the fundamental group of a pointed topological space is defined as the group of homotopy classes of loops based at This definition works well for spaces such as real and complex manifolds, but gives undesirable results for an algebraic variety with the Zariski topology. In the classification of covering spaces, it is shown that the fundamental group is exactly the group of deck transformations of the universal covering space. This is more promising: finite étale morphisms of algebraic varieties are the appropriate analogue of covering spaces of topological spaces. Unfortunately, an algebraic variety often fails to have a "universal cover" that is finite over , so one must consider the entire category of finite étale coverings of One can then define the étale fundamental group as an inverse limit of finite automorphism groups.
Мысалдар мен теоремалар
Ең негізгі мысал - Galois тобының этальдік негізгі тобы. Негізінен, анықтамасы бойынша, Galois тобының абсолютті Галуа тобымен изоморфты екені көрсетілуі мүмкін. Нақтырақ айтқанда, Galois геометриялық нүктесін таңдау - бұл бөлінген жабық кеңейту өрісін берумен тең. Жалпы алғанда, геометриялық байланыстағы кез келген түрдің өрісі (яғни, байланысқан түр) үшін шекті топтардың нақты реті бар:
The most basic example of is , the étale fundamental group of a field Essentially by definition, the fundamental group of can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group More precisely, the choice of a geometric point of is equivalent to giving a separably closed extension field , and the étale fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory. More generally, for any geometrically connected variety over a field (i. e., is such that is connected) there is an exact sequence of profinite groups:
Схемалар 0 сипаттамалы өрісте
Комплекс сандар бойынша шекті типтегі схема үшін , және , әдеттегі, топологиялық, негізгі тобы арасындағы тығыз байланыс бар. Бұл жағдайда, алгебралық негізгі топ, әдетте аталғандай, бұл шекті аяқталуы. Бұл Риманның бар болу теоремасының салдары, бұл барлық шекті этаптық жабулар туындайды. Әсіресе, тегіс қисықтардың негізгі тобы (яғни Риманның ашық беттері) жақсы түсініледі; бұл алгебралық негізгі топты анықтайды. Жалпы алғанда, кез келген алгебралық жабық өрістегі нөлдік сипаттамадағы дұрыс схеманың негізгі тобы белгілі, өйткені алгебралық жабық өрістердің кеңейтілуі изоморфты негізгі топтарды тудырады.
For a scheme that is of finite type over , the complex numbers, there is a close relation between the étale fundamental group of and the usual, topological, fundamental group of , the complex analytic space attached to The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of This is a consequence of the Riemann existence theorem, which says that all finite étale coverings of stem from ones of In particular, as the fundamental group of smooth curves over (i. e., open Riemann surfaces) is well understood; this determines the algebraic fundamental group. More generally, the fundamental group of a proper scheme over any algebraically closed field of characteristic zero is known, because an extension of algebraically closed fields induces isomorphic fundamental groups.
Оң сипаттама мен иілгіш негізгі топтың өрісі бойынша схемалар
Алгебралық жабық оң сипаттамалы өріс үшін нәтижелер басқаша, өйткені бұл жағдайда Артин-Шрайер қаптамалары бар. Мысалы, аффинді түзудің негізгі тобы топологиялық тұрғыдан шекті түрде пайда болмайды. Кейбір схемалардың үйлесімді негізгі тобы U - бұл әдеттегі негізгі топтың үлесі, ол тек қана үйлесімді тармақталған қаптамаларды ескереді, онда кейбір тығыздалу және оның толықтырмасы болып табылады. Мысалы, аффинді сызықтың үйлесімді негізгі тобы нөл.
For an algebraically closed field of positive characteristic, the results are different, since Artin–Schreier coverings exist in this situation. For example, the fundamental group of the affine line is not topologically finitely generated. The tame fundamental group of some scheme U is a quotient of the usual fundamental group of which takes into account only covers that are tamely ramified along , where is some compactification and is the complement of in For example, the tame fundamental group of the affine line is zero.
Сыртымен байланысты схемалар
Әрбір аффиндік схема кеңістік болып табылады, яғни оның этальдік гомотопиялық түрі оның этальдік гомотопиялық тобымен толық анықталады. Геометриялық нүкте қайда екенін байқаңыз.
It turns out that every affine scheme is a space, in the sense that the etale homotopy type of is entirely determined by its etale homotopy group. Note where is a geometric point.
Проэтальдік негізгі топ
Этаптық негізгі топтың проэтаптық негізгі топ деп аталатын нұсқасын енгізді. Ол шекті этальді қақпақтар орнына этальді және құндық критерийін қанағаттандыратын карталарды қарастыру арқылы құрастырылады. Геометриялық бір тармақты схемалар үшін (мысалы, қалыпты схемалар) екі тәсіл де сәйкес келеді, бірақ жалпы алғанда протальді негізгі топ - бұл неғұрлым жақсы инвариант: оның нақты аяқталуы - протальді негізгі топ.
have introduced a variant of the étale fundamental group called the pro étale fundamental group. It is constructed by considering, instead of finite étale covers, maps which are both étale and satisfy the valuative criterion of properness. For geometrically unibranch schemes (e. g., normal schemes), the two approaches agree, but in general the pro étale fundamental group is a finer invariant: its profinite completion is the étale fundamental group.