Введение

Топологическая концепция в алгебраической геометрии Эталь или алгебраическая фундаментальная группа является аналогом в алгебраической геометрии, для схем, обычной фундаментальной группы топологических пространств.

Топологический аналог/неформальное обсуждение

В алгебраической топологии фундаментальная группа топологического пространства определяется как группа классов гомотопий петлей, основанных на топологии Зариски. Это определение хорошо работает для пространств, таких как реальные и сложные многообразия, но дает нежелательные результаты для алгебраического разнообразия с топологией Зариски. В классификации покрывающих пространств показано, что фундаментальная группа является точно группой преобразований палубы универсального покрывающего пространства. Это более перспективно: конечные эталевые морфизмы алгебраических разновидностей являются подходящим аналогом покрытия пространств топологических пространств. К сожалению, алгебраический разновидность часто не может иметь "универсальное покрытие", которое конечно по , поэтому нужно рассмотреть всю категорию конечных эталевых покрытий. Один может затем определить эталевую фундаментальную группу как обратную границу конечных групп автоморфизма.

Примеры и теоремы

Наиболее простым примером является , этальная фундаментальная группа поля По существу, по определению, фундаментальная группа может быть продемонстрирована как изоморфная абсолютной группе Галуа. Более точно, выбор геометрической точки из эквивалентен получению раздельно замкнутого поля расширения , и этальная фундаментальная группа по отношению к этой базовой точке отождествляется с группой Галуа. Эта интерпретация группы Галуа известна как теория Галуа Гротендика. Более общим образом, для любого геометрически связанного разнообразия по поле (т. е. такого, который связан) существует точная последовательность проконечных групп:

Схемы по полю с нулевой характеристикой

Для схемы, которая имеет конечный тип над , комплексными числами, существует тесная связь между этальной фундаментальной группой и обычной, топологической, фундаментальной группой , комплексное аналитическое пространство, прикрепленное к алгебраической фундаментальной группы, как это обычно называется в этом случае, является конечным завершением Это является следствием теоремы существования Римана, которая говорит, что все конечные этальные покрытия стебловых из тех из В частности, как фундаментальная группа гладких кривых над (т.е., открытых поверхностей Римана) хорошо понятна; это определяет алгебраическую фундаментальную группу. Более обще, фундаментальная группа правильной схемы над любым алгебраически замкнутым полем характеристики ноль известна, потому что расширение алгебраически замкнутых полей индуцирует изоморфные фундаментальные группы.

Схемы по поле положительной характеристики и покорной основной группе

Для алгебраически замкнутого поля положительной характеристики результаты отличаются, так как в этой ситуации существуют покрытия Артина-Шрайера. Например, фундаментальная группа аффиновой прямой не является топологически конечной. Уплотненная фундаментальная группа некоторой схемы U является коэффициентом обычной фундаментальной группы, которая учитывает только покрытия, которые уплотненно разветвлены вдоль , где есть некоторое уплотнение и является дополнением к in Например, уплотненная фундаментальная группа аффинной линии равна нулю.

Схожие схемы в области характеристики

Оказывается, что каждая аффинная схема является пространством в том смысле, что этальный гомотопический тип полностью определяется его этальной гомотопической группой. Заметьте, где геометрическая точка.

Проэтальная фундаментальная группа

Ввели вариант этальной фундаментальной группы, называемый проэтальной фундаментальной группой. Он построен путем рассмотрения, вместо конечных этальных обложек, карт, которые одновременно являются этальными и удовлетворяют оценочному критерию собственности. Для геометрически однораздельных схем (например, нормальных схем) оба подхода согласуются, но в целом простейшая фундаментальная группа является более тонкой инвариантой: ее определенное завершение - это простейшая фундаментальная группа.