Гиперболикалық 3-манифольдтарды зерттеуге арналған SnapPea бағдарламасы
SnapPea
SnapPea бағдарламасы – гиперболалық 3 манифольдтарды зерттеуге арналған математикалық тегін құрал. Топологтар үшін өте пайдалы, 3.0d3 нұсқасы қолжетімді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық бағдарламалық қамтамасыз ету
Mathematical software
SnapPea – математиктерге, әсіресе төмен өлшемді топологтарға гиперболалық 3-көптүрліліктерді зерттеуге көмектесу үшін жасалған тегін бағдарламалық қамтамасыз ету. Басты әзірлеушісі – Джеффри Уикс, ол алғашқы нұсқасын Уильям Турстонның ғылыми жетекшілігімен докторлық диссертациясының бөлігі ретінде жасаған. Оны сол аттас, бірақ байланыссыз Android зиянды бағдарламасымен шатастыруға болмайды. Соңғы нұсқасы – 3.0d3. Марк Куллер, Натан Данфилд және олардың серіктестері SnapPea ядросын кеңейтіп, Python кеңейту модульдерін жазды, олар ядроны Python бағдарламасында немесе интерпретаторда пайдалануға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, олар көптеген операциялық жүйелерде жұмыс істейтін Python тілінде жазылған графикалық интерфейсті ұсынады (төмендегі сыртқы сілтемелерді қараңыз). SnapPea 2.5.3 нұсқасының алғыс айту тізімінде келесі адамдар көрсетілген: Колин Адамс, Билл Арвесон, Пэт Каллахан, Джо Кристи, Дейв Габай, Чарли Ганн, Мартин Хилдебранд, Крейг Ходжсон, Дайан Хоффосс, А. С. Манохаран, Ал Марден, Дик МакГи, Роб Мейерхофф, Ли Мошер, Уолтер Нейман, Карло Петронио, Марк Филлипс, Алан Рид және Макото Сакума. Джеффри Уикс C тіліндегі бастапқы кодты кеңінен түсіндірген, онда математикалық сипаттамалар мен сілтемелер бар. SnapPeaKernel, SnapPy сияқты, GNU GPL 2+ лицензиясы бойынша таратылады.
SnapPea is free software designed to help mathematicians, in particular low dimensional topologists, study hyperbolic 3 manifolds. The primary developer is Jeffrey Weeks, who created the first version as part of his doctoral thesis, supervised by William Thurston. It is not to be confused with the unrelated android malware with the same name. The latest version is 3.0d3. Marc Culler, Nathan Dunfield and collaborators have extended the SnapPea kernel and written Python extension modules which allow the kernel to be used in a Python program or in the interpreter. They also provide a graphical user interface written in Python which runs under most operating systems (see external links below). The following people are credited in SnapPea 2.5.3's list of acknowledgments: Colin Adams, Bill Arveson, Pat Callahan, Joe Christy, Dave Gabai, Charlie Gunn, Martin Hildebrand, Craig Hodgson, Diane Hoffoss, A. C. Manoharan, Al Marden, Dick McGehee, Rob Meyerhoff, Lee Mosher, Walter Neumann, Carlo Petronio, Mark Phillips, Alan Reid, and Makoto Sakuma. The C source code is extensively commented by Jeffrey Weeks and contains useful descriptions of the mathematics involved with references. The SnapPeaKernel is released under GNU GPL 2+ as is SnapPy.
Алгоритмдер мен функциялар
SnapPea-ның негізінде екі басты алгоритм жатыр. Біріншісі, берілген түйіндік кеңістіктің ең кішкентай идеалдық үшбұрыштауын табуға тырысады. Екіншісі, құсқалды гиперболалық 3-көршімдіктің канондық жіктелуін есептейді. SnapPea-ның дерлік барлық басқа функциялары осы жіктелулердің біріне тікелей немесе жанама түрде байланысты.
At the core of SnapPea are two main algorithms. The first attempts to find a minimal ideal triangulation of a given link complement. The second computes the canonical decomposition of a cusped hyperbolic 3 manifold. Almost all the other functions of SnapPea rely in some way on one of these decompositions.
Минималды идеалдық үшбұрыштылық
SnapPea деректерді әртүрлі форматта енгізеді. Сілтеме диаграммасы берілгенде, SnapPea идеал жағдайда сілтеме толымын үшбұрыштай алады. Содан кейін ол жергілікті минималды идеал үшбұрышты табу үшін оңайлатулар тізбесін орындайды. Ыңғайлы идеал үшбұрышты тапқаннан кейін, SnapPea гиперболалық құрылымды табуға тырысады. Принстон лекцияларында Турстон әр гиперболалық тетраэдрдің геометриялық пішінін күрделі санмен және күрделі айнымалылардың сызықтық емес теңдеулер жиынтығымен сипаттау әдісін атап көрсетті, олардың шешімі 3-көптүрліліктегі толық гиперболалық метриканы береді. Бұл теңдеулер жиек теңдеулерінен және төбелік (толықтық) теңдеулерінен тұрады. SnapPea шешімдерді іздеу үшін Ньютон әдісін пайдаланатын итеративтік әдіс қолданады. Егер шешім табылмаса, онда бұл туралы пайдаланушыға хабар беріледі. Үшбұрыштықтың жергілікті минималдығы мұндай шешімнің табылу ықтималдығын арттыруға арналған, себебі эвристикалық тұрғыдан мұндай үшбұрыштықтың деформацияланбастан немесе тетраэдрлердің бір-біріне қабаттаспай "түзетілуін" күтуге болады. Осы сілтеме толымындағы гиперболалық құрылымның сипаттамасынан SnapPea гиперболалық 3-көптүрліліктер алу үшін төбеліктерде гиперболалық Дехн толтыруын орындай алады. SnapPea мұны Турстонның жазбаларында да түсіндірілгендей, белгілі бір еңістерді (Дехн толтыру теңдеулерін анықтайтын) алып, содан кейін осы теңдеулер мен жиек теңдеулеріне шешім табу үшін идеал тетраэдрлердің пішіндерін реттейді. Көптеген еңістер үшін бұл сілтеме толымында толық емес гиперболалық құрылымды береді, оның толықтырылуы Дехн толтырылған көптүрлілікте гиперболалық құрылымды береді. Оның көлемі түзетілген тетраэдрлердің көлемдерінің қосындысына тең.
SnapPea inputs data in a variety of formats. Given a link diagram, SnapPea can ideally triangulate the link complement. It then performs a sequence of simplifications to find a locally minimal ideal triangulation. Once a suitable ideal triangulation is found, SnapPea can try to find a hyperbolic structure. In his Princeton lecture notes, Thurston noted a method for describing the geometric shape of each hyperbolic tetrahedron by a complex number and a set of nonlinear equations of complex variables whose solution would give a complete hyperbolic metric on the 3 manifold. These equations consist of edge equations and cusp (completeness) equations. SnapPea uses an iterative method utilizing Newton's method to search for solutions. If no solution exists, then this is reported to the user. The local minimality of the triangulation is meant to increase the likelihood that such a solution exists, since heuristically one might expect such a triangulation to be "straightened" without causing degenerations or overlapping of tetrahedra. From this description of the hyperbolic structure on a link complement, SnapPea can then perform hyperbolic Dehn filling on the cusps to obtain more hyperbolic 3 manifolds. SnapPea does this by taking any given slopes which determine certain Dehn filling equations (also explained in Thurston's notes), and then adjusting the shapes of the ideal tetrahedra to give solutions to these equations and the edge equations. For almost all slopes, this gives an incomplete hyperbolic structure on the link complement, whose completion gives a hyperbolic structure on the Dehn filled manifold. Its volume is the sum of the volumes of the adjusted tetrahedra.