Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометриядағы түсінік
Concept in algebraic geometry
Алгебралық геометрияда алгебралық санның жалпы нүктесі P – жалпы орналасқан, барлық жалпы қасиеттері орындалатын нүкте. Жалпы қасиет – бұл көптеген нүктелер үшін орындалатын қасиет. Классикалық алгебралық геометрияда аффиндік немесе проективтік алгебралық санның d өлшемді жалпы нүктесі – оның координаттары арқылы туындаған дененің, санның теңдеулерінің коэффициенттері арқылы туындаған денеге қатысты трансценденттік дәрежесі d-ге тең болатын нүкте. Схемалар теориясында интегралды доменнің спектрінде бірегей жалпы нүкте болады, ол нөлдік идеал. Бұл нүктенің Зариски топологиясы бойынша жабылуы бүкіл спектр болғандықтан, анықтама жалпы топологияға дейін кеңейтілді, онда топологиялық кеңістіктің жалпы нүктесі X – оның жабылуы X болатын нүкте.
In algebraic geometry, a generic point P of an algebraic variety X is a point in a general position, at which all generic properties are true, a generic property being a property which is true for almost every point. In classical algebraic geometry, a generic point of an affine or projective algebraic variety of dimension d is a point such that the field generated by its coordinates has transcendence degree d over the field generated by the coefficients of the equations of the variety. In scheme theory, the spectrum of an integral domain has a unique generic point, which is the zero ideal. As the closure of this point for the Zariski topology is the whole spectrum, the definition has been extended to general topology, where a generic point of a topological space X is a point whose closure is X.
Анықтама және мотивация
Топологиялық кеңістік X-тің жалпы нүктесі – X-тің жабылуы X-тің өзі болатын P нүктесі, яғни X-те тығыз нүкте. Бұл терминология алгебралық жиынның субварианттары жиынындағы Зариски топологиясының жағдайынан туындайды: алгебралық жиын ирредуктивті болады (яғни, ол екі дұрыс алгебралық ішкі жиынның бірігуі емес) субварианттардың топологиялық кеңістігінде жалпы нүкте болған жағдайда және тек сонда ғана.
A generic point of the topological space X is a point P whose closure is all of X, that is, a point that is dense in X. The terminology arises from the case of the Zariski topology on the set of subvarieties of an algebraic set: the algebraic set is irreducible (that is, it is not the union of two proper algebraic subsets) if and only if the topological space of the subvarieties has a generic point.
Мысалдар
Жалпы нүктесі бар жалғыз Хаусдорф кеңістігі – бір элементті жиын. Кез келген интегралдық схеманың (бірден-бір) жалпы нүктесі болады; егер схема аффиндік интегралдық схема болса (яғни, интегралдық доменнің негізгі спектрі), онда жалпы нүкте (0) негізгі идеалына сәйкес келетін нүкте болады.
The only Hausdorff space that has a generic point is the singleton set. Any integral scheme has a (unique) generic point; in the case of an affine integral scheme (i. e., the prime spectrum of an integral domain) the generic point is the point associated to the prime ideal (0).
Тарих
Андре Вейльдің «Алгебралық геометрия негіздері» атты еңбегінде қалыптасқан негіздік тәсілде жалпы нүктелер маңызды рөл атқарды, бірақ олар басқаша қарастырылды. K өрісі бойынша V алгебралық түрлілігі үшін V-нің жалпы нүктелері жалпы өріс Ω-да мәндер алатын V нүктелерінің толық сыныбы болды, алгебралық жабық өріс K-ны қамтиды, сонымен қатар жаңа анықталмағандардың шексіз қоры бар. Бұл тәсіл V-нің (Зариски топологиясы, яғни) топологиясымен тікелей айналысу қажеттілігін жойды, өйткені маманданулардың барлығын өріс деңгейінде талқылауға болады (1930 жылдары алгебралық геометрияда танымал болған бағалау теориясы тәсілі сияқты). Бұл, бір текті жалпы нүктелердің үлкен жиынтығының болуымен байланысты. Екінші дүниежүзілік соғыстан кейін Сан-Паулуда Вейльдің әріптесі Оскар Зариски жалпы нүктелердің бірегей болуын қатысты түрде талап етті. (Бұл топологтардың терминдеріне қайта оралуға болады: Вейльдің идеясы Колмогоров кеңістігін құруға мүмкіндік бермейді, ал Зариски Колмогоров коэффициенті тұрғысынан ойлайды.) 1950 жылдардың қарқынды іргелі өзгерістері кезінде Вейльдің тәсілі ескірді. Бірақ, 1957 жылдан бастап схемалар теориясында жалпы нүктелер қайтадан пайда болды: бұл жолы Зариски бағытында. Мысалы, R дискретті бағалау сақинасы болса, Spec(R) екі нүктеден тұрады: жалпы нүкте (түпкі идеал {0}-дан шығады) және жабық немесе арнайы нүкте (бірегей максималды идеалдан шығады). Spec(R) морфизмдері үшін арнайы нүктеден жоғарыдағы талшық – арнайы талшық болып табылады, бұл p модульді азайту, монодромия теориясы және дегенерация туралы басқа да теориялар үшін маңызды ұғым. Сәйкесінше, жалпы талшық – жалпы нүктеден жоғарыдағы талшық. Дегенерация геометриясы көбінесе жалпыдан арнайы талшыққа өту туралы, яғни параметрлердің мамандануы мәселелерге қалай әсер ететіні туралы болады. (Дискретті бағалау сақинасы үшін сұраныстағы топологиялық кеңістік – топологтардың Сиерпински кеңістігі. Басқа жергілікті сақиналардың бірегей жалпы және арнайы нүктелері бар, бірақ олар күрделі спектрге ие, себебі олар жалпы өлшемдерді көрсетеді. Дискретті бағалау жағдайы осы мақсаттар үшін күрделі бірлік дискісіне ұқсас.)
In the foundational approach of André Weil, developed in his Foundations of Algebraic Geometry, generic points played an important role, but were handled in a different manner. For an algebraic variety V over a field K, generic points of V were a whole class of points of V taking values in a universal domain Ω, an algebraically closed field containing K but also an infinite supply of fresh indeterminates. This approach worked, without any need to deal directly with the topology of V (K Zariski topology, that is), because the specializations could all be discussed at the field level (as in the valuation theory approach to algebraic geometry, popular in the 1930s). This was at a cost of there being a huge collection of equally generic points. Oscar Zariski, a colleague of Weil's at São Paulo just after World War II, always insisted that generic points should be unique. (This can be put back into topologists' terms: Weil's idea fails to give a Kolmogorov space and Zariski thinks in terms of the Kolmogorov quotient.) In the rapid foundational changes of the 1950s Weil's approach became obsolete. In scheme theory, though, from 1957, generic points returned: this time à la Zariski. For example for R a discrete valuation ring, Spec(R) consists of two points, a generic point (coming from the prime ideal {0}) and a closed point or special point coming from the unique maximal ideal. For morphisms to Spec(R), the fiber above the special point is the special fiber, an important concept for example in reduction modulo p, monodromy theory and other theories about degeneration. The generic fiber, equally, is the fiber above the generic point. Geometry of degeneration is largely then about the passage from generic to special fibers, or in other words how specialization of parameters affects matters. (For a discrete valuation ring the topological space in question is the Sierpinski space of topologists. Other local rings have unique generic and special points, but a more complicated spectrum, since they represent general dimensions. The discrete valuation case is much like the complex unit disk, for these purposes.)