Введение
Понятие алгебраической геометрии
В алгебраической геометрии, обобщённая точка P алгебраического многообразия X — это точка в общем положении, для которой верны все обобщённые свойства, причём обобщённым свойством называется свойство, которое верно для почти каждой точки. В классической алгебраической геометрии, обобщённая точка аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d — это точка, такая что поле, порождённое её координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порождённым коэффициентами уравнений многообразия. В теории схем, спектр целостного домена имеет единственную обобщённую точку, которой является нулевой идеал. Поскольку замыкание этой точки по топологии Зариски является всем спектром, определение было расширено на общую топологию, где обобщённой точкой топологического пространства X является точка, замыканием которой является X.
Определение и мотивация
Общая точка топологического пространства X — это точка P, замыкание которой равно всему X, то есть точка, плотная в X. Эта терминология возникла из рассмотрения топологии Зариски на множестве подмногообразий алгебраического множества: алгебраическое множество является неприводимым (то есть не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.
Примеры
Единственное хаусдорфово пространство, имеющее универсальную точку, — это одноэлементное множество. Любая целостная схема имеет (единственную) универсальную точку; в случае аффинной целостной схемы (то есть спектр простых идеалов целостного домена) универсальной точкой является точка, соответствующая простому идеалу (0).
История
В фундаментальном подходе Андре Вейля, разработанном в его «Основах алгебраической геометрии», общие точки играли важную роль, но рассматривались иначе. Для алгебраического многообразия V над полем K общие точки V представляли собой целый класс точек V, принимающих значения в универсальной области Ω – алгебраически замкнутом поле, содержащем K, но также и бесконечное множество новых независимых переменных. Этот подход работал, не требуя непосредственного обращения к топологии V (то есть к топологии Зариски), поскольку специализации можно было обсуждать на уровне поля (как в подходе к алгебраической геометрии, основанном на теории оценки, популярном в 1930-х годах). Однако это достигалось ценой существования огромного количества равнозначных общих точек. Оскар Зариски, коллега Вейля в Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны, всегда настаивал на том, что общие точки должны быть единственными. (Это можно выразить в терминах топологии: идея Вейля не позволяет получить пространство Колмогорова, а Зариски мыслит категориями колмогоровского частного.) В результате быстрых фундаментальных изменений 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем, начиная с 1957 года, общие точки вернулись – на этот раз в духе Зариски. Например, для R – кольца дискретного нормирования, Spec(R) состоит из двух точек: общей точки (соответствующей простому идеалу {0}) и замкнутой или специальной точки, соответствующей единственному максимальному идеалу. Для морфизмов в Spec(R) волокно над специальной точкой является специальным волокном – важным понятием, например, в редукции по модулю p, теории монодромии и других теориях дегенерации. Аналогично, общее волокно – это волокно над общей точкой. Геометрия дегенерации в значительной степени посвящена переходу от общих волокон к специальным, или, иными словами, тому, как специализация параметров влияет на ситуацию. (Для кольца дискретного нормирования соответствующее топологическое пространство – это пространство Сиерпинского в понимании топологов. Другие локальные кольца имеют единственные общие и специальные точки, но более сложный спектр, поскольку они отражают общие размерности. Для этих целей случай дискретного нормирования очень похож на комплексный единичный диск.)