Кіріспе
Математиканың кейіпкерлер теориясы деп аталатын саласындағы маңызды нәтиже – Рихард Брауердің есімімен аталған Брауердің индукциялық теоремасы, шекті топтардың бейнелеу теориясы аясындағы индукцияланған кейіпкерлер туралы негізгі теорема.
Brauer's theorem on induced characters, often known as Brauer's induction theorem, and named after Richard Brauer, is a basic result in the branch of mathematics known as character theory, within representation theory of a finite group.
Өмірбаян
Артиннің индукция теоремасы Брауердің индукция теоремасына алғыкөз болды, ол былай глайды: |G| санының G тобының тривиалды белгісіне көбейтілгені, G тобының циклдік кіші топтарының тривиалды белгілерінен индукцияланған белгілердің бүтін сандық комбинациясы болып жазылуы мүмкін. Брауер теоремасы |G| көбейткішін жояды, бірақ қолданылатын кіші топтар жиынын кеңейту арқасында. Брауер теоремасының дәлелі жарияланғаннан кейін бірнеше жыл өткен соң, Дж. А. Грин (1955 жылы) мұндай индукция теоремасын (сызықтық белгілерден индукцияланған белгілердің бүтін сандық комбинацияларымен) Брауердің элементарлық кіші топтарынан кіші жиынмен дәлелдеу мүмкін емес екенін көрсетті. Артиннің индукция теоремасы мен Брауердің индукция теоремасы арасындағы тағы бір нәтиже, сондай-ақ Брауерге байланысты және Брауер теоремасы немесе Брауер леммасы деп те аталады, G тобының тұрақты өрнектелуі оң рационалдар болып жазылуы мүмкін, ал белгілер G тобының циклдік кіші топтарының белгілерінен индукцияланады. Артин теоремасында белгілер циклдік топтың тривиалды белгісінен индукцияланса, ал мұнда олар кез келген белгілерден индукцияланады (Артиннің L-функцияларына қолданғанда топтардың циклдік болуы және осылайша барлық белгілердің сызықтық болуы және сәйкес L-функциялардың аналитикалық екені маңызды).
but at the expense of expanding the collection of subgroups used. Some years after the proof of Brauer's theorem appeared, J. A. Green showed (in 1955) that no such induction theorem (with integer combinations of characters induced from linear characters) could be proved with a collection of subgroups smaller than the Brauer elementary subgroups. Another result between Artin's induction theorem and Brauer's induction theorem, also due to Brauer and also known as Brauer's theorem or Brauer's lemma is the fact that the regular representation of G can be written as where the are positive rationals and the are induced from characters of cyclic subgroups of G. Note that in Artin's theorem the characters are induced from the trivial character of the cyclic group, while here they are induced from arbitrary characters (in applications to Artin's L functions it is important that the groups are cyclic and hence all characters are linear giving that the corresponding L functions are analytic).
Дәлелдендіру
Брауэрдің индукциялық теоремасының дәлелі Char(G) сақинасының құрылымын пайдаланады (көптеген дәлелдер сонымен қатар сәл үлкен сақинаны, Char*(G) пайдаланады, ол о о о азайтылмайтын таңбалардың комбинацияларынан тұрады, мұнда ω – ω - бірліктің примитивті кешен |G| түбірі). Брауэрдің элементарлық кіші топтарының сызықтық таңбаларынан индукцияланған таңбалардың бүтін сандық комбинацияларының жиынтығы Char(G) сақинасының I(G) идеалы болып табылады, сондықтан дәлелдеу тривиалды таңбаның I(G) ішінде екенін көрсетумен шектеледі. Теореманың бірнеше дәлелдеуі, Брауэр мен Джон Тейтке байланысты дәлелдеуден басталып, тривиалды таңбаның бір уақытта бір жай сан p-ге назар аудару арқылы және I*(G) идеалының бүтін мәнді элементтерін құрастыру арқылы, бұл тривиалды таңбадан p-нің жеткілікті жоғары дәрежесінің (бүтін еселіктері) айырмашылығымен ерекшеленеді. Бұл |G| санының әрбір жай бөлгіші үшін қол жеткізілгеннен кейін, конгруэнциялар мен алгебралық бүтін сандармен кейбір манипуляциялар, сондай-ақ I*(G) сақинасының Ch*(G) сақинасының идеалы екендігін пайдаланып, тривиалды таңбаны I(G) ішіне орналастырады. Мұндағы қосалқы нәтиже: егер оның мәндерінің бәрі |G| санына бөлінсе, онда бағаланған класс функциясы I*(G) ішінде болады. Брауэрдің индукциялық теоремасы 1946 жылы дәлелденді, ал қазір көптеген баламалы дәлелдер бар. 1986 жылы Виктор Снайт түбегейлі басқаша тәсілмен, топологиялық сипаттағы дәлелдеу берді (Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасының қолданылуы). Брауэр теоремасының табиғи және айқын формаларын табу мәселесі бойынша, атап айтқанда Роберт Болтьемен байланысты соңғы жұмыстар жүргізілді.
and algebraic integers, again exploiting the fact that I*(G) is an ideal of Ch*(G), place the trivial character in I(G). An auxiliary result here is that a valued class function lies in the ideal I*(G) if its values are all divisible (in ) by |G|. Brauer's induction theorem was proved in 1946, and there are now many alternative proofs. In 1986, Victor Snaith gave a proof by a radically different approach, topological in nature (an application of the Lefschetz fixed point theorem). There has been related recent work on the question of finding natural and explicit forms of Brauer's theorem, notably by Robert Boltje.