Введение
Фундаментальный результат в области математики, известной как теория характеров. Теорема Брауэра об индуцированных характерах, часто называемая теоремой индукции Брауэра, и названная в честь Ричарда Брауэра, является базовым результатом в теории характеров, входящей в теорию представлений конечной группы.
Brauer's theorem on induced characters, often known as Brauer's induction theorem, and named after Richard Brauer, is a basic result in the branch of mathematics known as character theory, within representation theory of a finite group.
Предыстория
Предшественником теоремы индукции Брауэра была теорема индукции Артина, которая утверждает, что |G| умноженное на тривиальный характер G является целочисленной комбинацией характеров, каждый из которых индуцирован из тривиальных характеров циклических подгрупп G. Теорема Брауэра устраняет фактор |G|, но за счет расширения набора используемых подгрупп. Через несколько лет после публикации доказательства теоремы Брауэра, Дж. А. Грин показал (в 1955 году), что никакую подобную теорему индукции (с целочисленными комбинациями характеров, индуцированных из линейных характеров) нельзя доказать, используя набор подгрупп, меньший, чем элементарные подгруппы Брауэра. Другой результат, находящийся между теоремой индукции Артина и теоремой индукции Брауэра, также известный как теорема Брауэра или лемма Брауэра, заключается в том, что регулярное представление G можно записать в виде , где – положительные рациональные числа, а индуцированы из характеров циклических подгрупп G. Следует отметить, что в теореме Артина характеры индуцируются из тривиального характера циклической группы, в то время как здесь они индуцируются из произвольных характеров (в приложениях к L-функциям Артина важно, чтобы группы были циклическими и, следовательно, все характеры линейными, что обеспечивает аналитичность соответствующих L-функций).
but at the expense of expanding the collection of subgroups used. Some years after the proof of Brauer's theorem appeared, J. A. Green showed (in 1955) that no such induction theorem (with integer combinations of characters induced from linear characters) could be proved with a collection of subgroups smaller than the Brauer elementary subgroups. Another result between Artin's induction theorem and Brauer's induction theorem, also due to Brauer and also known as Brauer's theorem or Brauer's lemma is the fact that the regular representation of G can be written as where the are positive rationals and the are induced from characters of cyclic subgroups of G. Note that in Artin's theorem the characters are induced from the trivial character of the cyclic group, while here they are induced from arbitrary characters (in applications to Artin's L functions it is important that the groups are cyclic and hence all characters are linear giving that the corresponding L functions are analytic).
Доказательства
Доказательство теоремы индукции Брауэра использует кольцевую структуру Char(G) (большинство доказательств также используют несколько большее кольцо, Char*(G), состоящее из комбинаций неприводимых характеров, где ω — примитивный комплексный корень |G|-й степени из единицы). Множество целочисленных комбинаций характеров, индуцированных из линейных характеров элементарных подгрупп Брауэра, является идеалом I(G) в Char(G), поэтому доказательство сводится к показу, что тривиальный характер принадлежит I(G). Несколько доказательств теоремы, начиная с доказательства Брауэра и Джона Тейта, показывают, что тривиальный характер принадлежит аналогично определенному идеалу I*(G) в Char*(G), концентрируя внимание на одном простом числе p за раз и конструируя элементы I*(G) с целочисленными значениями, которые отличаются (поэлементно) от тривиального характера на (целое кратное) достаточно высокой степени p. Как только это достигнуто для каждого простого делителя |G|, некоторые манипуляции с конгруэнциями и алгебраическими целыми числами, вновь используя тот факт, что I*(G) является идеалом Char*(G), помещают тривиальный характер в I(G). Вспомогательный результат заключается в том, что функция класса со значениями принадлежит идеалу I*(G), если все её значения делятся на |G|. Теорема индукции Брауэра была доказана в 1946 году, и в настоящее время существует множество альтернативных доказательств. В 1986 году Виктор Снайт предложил доказательство принципиально иным подходом, топологическим по своей природе (применение теоремы о неподвижной точке Лефшеца). Недавние работы, связанные с поиском естественных и явных форм теоремы Брауэра, были проведены, в частности, Робертом Болтье.
and algebraic integers, again exploiting the fact that I*(G) is an ideal of Ch*(G), place the trivial character in I(G). An auxiliary result here is that a valued class function lies in the ideal I*(G) if its values are all divisible (in ) by |G|. Brauer's induction theorem was proved in 1946, and there are now many alternative proofs. In 1986, Victor Snaith gave a proof by a radically different approach, topological in nature (an application of the Lefschetz fixed point theorem). There has been related recent work on the question of finding natural and explicit forms of Brauer's theorem, notably by Robert Boltje.