Кіріспе
Физикалық кеңістіктің геометриялық моделі – осы тақырыпқа қатысты кеңірек, математикалық емес қарастыру. Геометрияда үш өлшемді кеңістік (3D кеңістік, 3 кеңістік немесе сирек қолданылатын үш өлшемді кеңістік) – нүктенің орнын анықтау үшін үш мән (координаталар) қажет болатын математикалық кеңістік. Көбінесе, бұл үш өлшемді Евклид кеңістігі, яғни физикалық кеңістікті модельдейтін үш өлшемді Евклид кеңістігі. Жалпы үш өлшемді кеңістіктер 3-көптүрліліктер деп аталады. Бұл термин кеңістіктің ішкі жиыны, үш өлшемді аймақ (немесе 3D домен) дегенді де білдіре береді. Классикалық физикада ол барлық белгілі материяның бар екендігін көрсететін физикалық ғаламның моделі болып табылады. Эйнштейннің теориясы ескерілгенде, оны кеңістік-уақыттың жергілікті астырғы кеңістігі деп қарастыруға болады. Бұл кеңістік әлемді қабылдаудың ең тартымды және пайдалы тәсілі болып қала берсе де, ол үш өлшемді көптүрліліктердің көптеген түрлерінің тек бір ғана мысалы. Осы классикалық мысалда, үш мән әртүрлі бағыттардағы (координаталар) өлшемдерге сілтеме жасағанда, егер бұл бағыттар бір жазықтықта жатпаса, кез келген үш бағытты таңдауға болады. Сонымен қатар, егер бұл бағыттар жұп-жұп перпендикуляр болса, үш мән көбінесе ен, биіктік және ұзындық терминдерімен белгіленеді.
a broader, less mathematical treatment related to this topic
In geometry, a three dimensional space (3D space, 3 space or, rarely, tri dimensional space) is a mathematical space in which three values (coordinates) are required to determine the position of a point. Most commonly, it is the three dimensional Euclidean space, that is, the Euclidean space of dimension three, which models physical space. More general three dimensional spaces are called 3 manifolds. The term may also refer colloquially to a subset of space, a three dimensional region (or 3D domain), In classical physics, it serves as a model of the physical universe, in which all known matter exists. When relativity theory is considered, it can be considered a local subspace of space time. While this space remains the most compelling and useful way to model the world as it is experienced, it is only one example of a large variety of spaces in three dimensions called 3 manifolds. In this classical example, when the three values refer to measurements in different directions (coordinates), any three directions can be chosen, provided that these directions do not lie in the same plane. Furthermore, if these directions are pairwise perpendicular, the three values are often labeled by the terms width/breadth, height/depth, and length.
Тарих
Евклидтің "Элементтері" кітабының XI-XIII кітаптары үш өлшемді геометриямен айналысты. XI кітапта түзу сызықтар мен жазықтықтың ортогоналдылығы және параллелізм туралы түсініктер дамытылады, сондай-ақ параллель пипедтер, пирамидалар, призмалар, сфералар, октаэдрлер, икосаэдрлер және додекаэдрлерді қамтитын қатты денелер анықталады. XII кітапта қатты денелердің ұқсастығы туралы түсініктер қалыптасады. XIII кітапта сферадағы бес тұрақты Платондық қатты денелердің құрылысы сипатталады. 17 ғасырда үш өлшемді кеңістік Картезиандық координаттармен сипатталды, Рене Декарттың "La Géométrie" еңбегінде және Пьер де Ферматтың "Ad locos planos et solidos isagoge" (Жазық және қатты денелерге кіріспе) қолжазбасында дамыған аналитикалық геометрияның пайда болуымен, ол Ферматтың өмірінде жарияланбады. Дегенмен, үш өлшемді кеңістікпен тек Ферматтың жұмысы айналысты. 19 ғасырда үш өлшемді кеңістіктің геометриясы Уильям Роуэн Гамильтонның кватерниондарды дамытуымен өркендеді. Шындығында, Гамильтон скаляр және вектор терминдерін енгізді, ал олар алғаш рет кватерниондар үшін геометриялық аяда анықталды. Үш өлшемді кеңістікті жоғалып бара жатқан скалярлық компоненті бар кватерниондармен сипаттауға болады, яғни Гамильтон тікелей зерттемеген, бұл негіздер туралы түсініктерді енгізді, мысалы кватернион элементтері, сондай-ақ скалярлық көбейту және векторлық көбейту, олар екі векторлық кватерниондардың көбейтіндісінің скалярлық және векторлық бөліктеріне сәйкес келеді. Жосия Уиллард Гиббсқа дейін бұл екі көбейту өздігінен анықталмады, ал скалярлық және векторлық көбейтудің қазіргі заманғы белгілері оның лекциялық жазбаларында пайда болды, сондай-ақ 1901 жылы Эдвин Бидвелл Уилсонның Гиббстің лекцияларына негізделген "Векторлық талдау" оқулығында кездеседі. Сондай-ақ, 19 ғасырда векторлық кеңістіктердің абстрактілі формализмі дамыды, Герман Грассман және Джузеппе Пеаноның жұмыстарымен, соңғысы векторлық кеңістікке алгебралық құрылым ретінде қазіргі заманғы анықтама берді.
Координаттық жүйелер
Математикада аналитикалық геометрия (Картезиан геометриясы деп те аталады) үш өлшемді кеңістіктегі әрбір нүктені үш координата арқылы сипаттайды. Үш координаталық ось берілген, олардың әрқайсысы бастапқы нүктеде, яғни қиылысатын жерінде, қалған екеуіне перпендикуляр болады. Олар әдетте x, y және z деп белгіленеді. Осы осьтерге қатысты үш өлшемді кеңістіктегі кез келген нүктенің орны нақты сандардың реттелген тіліктерімен көрсетіледі, әр сан берілген ось бойымен өлшенген сол нүктенің бастапқы нүктеден арақашықтығын көрсетеді, бұл сол нүктенің қалған екі ось анықтаған жазықтықтан арақашықтығына тең. Үш өлшемді кеңістікте нүктенің орнын сипаттаудың тағы бір танымал әдістеріне цилиндрлік координаталар және сфералық координаталар жатады, бірақ мүмкін болатын әдістердің саны шексіз. Толығырақ ақпарат алу үшін Евклид кеңістігіне жүгініңіз. Төменде аталған жүйелердің суреттері келтірілген.
Сызықтар мен жазықтықтар
Екі нақты нүкте әрқашан (түзу) сызықты анықтайды. Үш нақты нүкте коллинеар болады немесе бірегей жазықтықты анықтайды. Ал, төрт нақты нүкте коллинеар, копланар немесе бүкіл кеңістікті анықтауы мүмкін. Екі нақты түзу қиылысуы, параллель немесе қисық болуы мүмкін. Екі параллель түзу немесе екі қиылысатын түзу бірегей жазықтықта жатады, сондықтан қисық түзулер – ортақ жазықтықта кездеспейтін және қиылыспайтын түзулер. Екі нақты жазықтық бір ортақ түзуде кездесуі немесе параллель болуы мүмкін (яғни қиыспауы). Үш нақты жазықтық, ешқайсысы параллель емес, ортақ түзуде кездесуі, бірегей ортақ нүктеде кездесуі немесе ортақ нүктесі болмауы мүмкін. Соңғы жағдайда әрбір екі жазықтықтың қиылысу сызықтары бір-біріне параллель болады. Түзу берілген жазықтықта жатуы, сол жазықтықты бірегей нүктеде кесіп өтуі немесе жазықтыққа параллель болуы мүмкін. Соңғы жағдайда жазықтықта берілген түзуге параллель түзулер болады. Гипержазық – толық кеңістіктің өлшемінен бір өлшемге кем субкеңістік. Үш өлшемді кеңістіктің гипержазықтары екі өлшемді субкеңістіктер, яғни жазықтықтар. Картезиандық координаттар бойынша гипержазықтың нүктелері бір сызықтық теңдеуді қанағаттандырады, сондықтан осы 3 кеңістіктегі жазықтықтар сызықтық теңдеулермен сипатталады. Түзуді әрқайсысы осы түзуді ортақ қиылыс ретінде иеленетін тәуелсіз сызықтық теңдеулер жұбымен сипаттауға болады. Вариньон теоремасы бойынша, кез келген төртбұрыштың орта нүктелері параллелограмм құрайды, демек олар копланар болады.
Айналу беттері
Жазықтық қисығын оның жазықтығындағы белгілі бір түзудің шамасы бойынша айналдыру арқылы пайда болатын бет айналым беті деп аталады. Жазық қисық – беттің генераторы деп аталады. Айналым бетін осқа перпендикуляр (ортогональ) жазықтықпен қиып жасалған қимасы – шеңбер болады. Генератор – түзу болғанда қарапайым мысалдар кездеседі. Егер генератор түзуі ось түзуін кесіп өтсе, айналым беті қиылысу нүктесі (апекс) болатын дөңгелек конус құрайды. Дегенмен, егер генератор мен ось параллель болса, онда айналым беті дөңгелек цилиндр болады.
Сызықтық алгебрада
Үш өлшемді кеңістікті қарастырудың тағы бір жолы сызықтық алгебрада табылады, онда тәуелсіздік ұғымы маңызды рөл атқарады. Кеңістік үш өлшемді болып табылады, себебі қораптың ұзындығы оның ені мен қалыңдығынан тәуелсіз. Сызықтық алгебраның арнаулы терминологиясында кеңістік үш өлшемді, өйткені кеңістіктегі кез келген нүкте үш тәуелсіз вектордың сызықтық комбинациясы арқылы сипатталуы мүмкін.
Қысқаша сипаттама
Үш өлшемді кеңістікті нақты сандар үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік ретінде сипаттау пайдалы болуы мүмкін. Бұл одан біршама ерекшеленеді. Анықтама бойынша, үшін негіз бар. Бұл және арасындағы изоморфизмге сәйкес келеді: изоморфизмнің құрылымы осында келтірілген. Дегенмен, үшін "артықшылықты" немесе "каноникалық негіз" жоқ. Екінші жағынан, үшін артықшылықты негіз бар, ол оның сипаттамасына байланысты, яғни , болып табылады. Бұл каноникалық проекцияларды анықтауға мүмкіндік береді, , мысалы, осыдан стандартты негізді анықтауға болады, мұнда – Кронекер дельтасы. Толық жазылғанда, стандартты негіз мынадай болады. Сондықтан, абстрактілі векторлық кеңістік ретінде қарастыруға болады, оған қосымша негізді таңдау құрылымы қосылған. Керісінше, бастапқыда және Картезиандық көбейту құрылымын "естен шығару" арқылы немесе, балама ретінде, негіздің стандартты таңдауын алып тастау арқылы алуға болады. Жалпы векторлық кеңістікке қарағанда, кеңістік кейде координаттық кеңістік деп аталады. Физикалық тұрғыдан алғанда, егер мәселенің параметрлерімен берілмесе, мүмкіндігінше аз құрылымды қабылдау үшін абстрактілі формализмді пайдалану ұғымдық тұрғыдан тиімді. Мысалы, айналу симметриясы бар мәселеде үш өлшемді кеңістіктің нақты сипаттамасымен жұмыс істеу негізді таңдауды білдіреді, бұл осьтер жиынтығына сәйкес келеді. Бірақ айналу симметриясында, бір осьтер жиынтығы, мысалы, кездейсоқ бұрылған осьтер жиынтығынан артық деп есептеуге ешқандай себеп жоқ. Басқаша айтқанда, осьтерді артықшылықты таңдау физикалық кеңістіктің айналу симметриясын бұзады. Есептеулер үшін нақты сипаттамамен жұмыс істеу қажет.
On the other hand, there is a preferred basis for , which is due to its description as a Cartesian product of copies of , that is, This allows the definition of canonical projections, , where For example, This then allows the definition of the standard basis defined by
where is the Kronecker delta. Written out in full, the standard basis is
Therefore can be viewed as the abstract vector space, together with the additional structure of a choice of basis. Conversely, can be obtained by starting with and 'forgetting' the Cartesian product structure, or equivalently the standard choice of basis. As opposed to a general vector space , the space is sometimes referred to as a coordinate space. Physically, it is conceptually desirable to use the abstract formalism in order to assume as little structure as possible if it is not given by the parameters of a particular problem. For example, in a problem with rotational symmetry, working with the more concrete description of three dimensional space assumes a choice of basis, corresponding to a set of axes. But in rotational symmetry, there is no reason why one set of axes is preferred to say, the same set of axes which has been rotated arbitrarily. Stated another way, a preferred choice of axes breaks the rotational symmetry of physical space. Computationally, it is necessary to work with the more concrete description in order to do concrete computations.
Бір-біріне ұқсас сипаттама
Әлі де абстрактілірек сипаттама физикалық кеңістікті нақты сандар үстіндегі үш өлшемді аффиндік кеңістік ретінде модельдеу болып табылады. Бұл аффиндік изоморфизмге дейін бірегей. Кейде оны үш өлшемді Евклид кеңістігі деп атайды. Векторлық кеңістіктің сипаттамасы "белгілі бір базисті" ұмытудан туындағандай, аффиндік кеңістіктің сипаттамасы векторлық кеңістіктің "бастапқы нүктесін" ұмытудан туындайды. Евклид кеңістіктері кейде Евклид аффиндік кеңістіктері деп аталады, оларды Евклид векторлық кеңістіктерінен ажырату үшін. Бұл физикалық тұрғыдан тартымды, себебі ол физикалық кеңістіктің ауысу инварианттылығын көрнекті етеді. Артықшылық берілген бастапқы нүкте ауысу инварианттылығын бұзады.
Ішкі өнім кеңістігі
Жоғарыдағы талқылау нүктелік көбейтіндіні қамтымайды. Нүктелік көбейтінді – ішкі көбейтіндінің бір мысалы. Физикалық кеңістікті векторлық кеңістік ретінде модельдеуге болады, ол қосымша ішкі көбейтінді құрылымына ие. Ішкі көбейтінді ұзындық және бұрыш (соның ішінде ортогональдық) ұғымдарын анықтайды. Кез келген ішкі көбейтінді үшін, ішкі көбейтінді нүктелік көбейтіндімен сәйкес келетін базистер бар, бірақ тағы да көптеген түрлі базистер бар, олардың ешқайсысы басымдыққа ие емес. Олар бір-бірінен SO(3) айналымдар тобының мүшесі болып табылатын айналым арқылы ерекшеленеді.
Сызықтық интегралдардың негізгі теоремасы
Сызықтық интегралдардың негізгі теоремасы градиент өрісі бойынша есептелген сызықтық интегралды қисықтың бастапқы және соңғы нүктелеріндегі түпкі скалярлық өрістің мәнін есептеу арқылы табуға болатынын айтады. Содан кейін
Дивергенция теоремасы
V – үш өлшемді кеңістіктегі көлемді білдіретін V-нің тығыз және бөлшекті жақсы анықталған шекарасы S (сондай-ақ осымен де белгіленеді) кіші жиынтығы болсын. Егер 'F' – V-нің айналасындағы аймақта анықталған, үздіксіз дифференциалданатын векторлық өріс болса, онда дивергенция теоремасы былай тұжырымдайды:
Сол жақ – V көлемі бойынша көлемдік интеграл, ал оң жақ – V көлемінің шекарасы бойынша беттік интеграл. Жабық манифольд ∂V – V-нің сыртқа қарай бағытталған нормальдармен бағдарланған шекарасы, ал 'n' – ∂V шекарасының сыртқа қарай бағытталған бірлік нормальдық өрісі. ('n'dS-ті 'd'S' деп қысқартуға болады.)
Топологияда
Үш өлшемді кеңістікте басқа өлшемдерден ерекшеленетін бірнеше топологиялық қасиеттер бар. Мысалы, жіпте түйін байлау үшін кем дегенде үш өлшем қажет. Дифференциалдық геометриядағы жалпы үш өлшемді кеңістіктер – 3-көптүрліліктер, олар жергілікті түрде ұқсас.
Шекті геометрияда
Өлшем туралы көптеген идеяларды шекті геометрия арқылы тексеруге болады. Ең қарапайым мысалы – PG(3,2), оның 2 өлшемді ішкі кеңістіктері Fano жазықтықтарынан тұрады. Бұл Галуа геометриясының бір түрі, ол шекті өрістерді қолдана отырып проективтік геометрияны зерттейді. Осылайша, кез келген Галуа өрісі GF(q) үшін үш өлшемді проективтік кеңістік PG(3,q) бар. Мысалы, PG(3,q) кеңістігіндегі кез келген үш өзара қиылыспайтын түзу сызық дәл бір рет regulus-қа жатады.