Введение

Геометрическая модель физического пространства – более широкое, менее математическое рассмотрение данной темы.

В геометрии трехмерное пространство (3D-пространство, 3-пространство или, реже, тримерное пространство) – это математическое пространство, для определения положения точки в котором требуются три значения (координаты). Чаще всего это трехмерное евклидово пространство, то есть евклидово пространство размерности три, которое моделирует физическое пространство. Более общие трехмерные пространства называются 3-многообразиями. Термин может также обозначать в разговорной речи подмножество пространства, трехмерную область (или 3D-область). В классической физике оно служит моделью физической Вселенной, в которой существует вся известная материя. При рассмотрении теории относительности, оно может рассматриваться как локальное подпространство пространства-времени. Несмотря на то, что это пространство остается наиболее убедительным и полезным способом моделирования мира, каким он воспринимается, оно является лишь одним примером из большого разнообразия пространств в трех измерениях, называемых 3-многообразиями. В этом классическом примере, когда три значения относятся к измерениям в различных направлениях (координатах), можно выбрать любые три направления, при условии, что они не лежат в одной плоскости. Более того, если эти направления попарно перпендикулярны, три значения часто обозначаются терминами ширина, высота и длина (или глубина).

История

Книги XI–XIII «Элементов» Евклида были посвящены трехмерной геометрии. В книге XI развиваются понятия ортогональности и параллелизма линий и плоскостей, а также определяются тела, включая параллелепипеды, пирамиды, призмы, сферы, октаэдры, икосаэдры и додекаэдры. В книге XII развиваются понятия подобия тел. В книге XIII описывается построение пяти правильных платоновых тел в сфере. В XVII веке трехмерное пространство было описано с помощью декартовых координат, с появлением аналитической геометрии, разработанной Рене Декартом в его работе «La Géométrie» и Пьером де Ферма в рукописи «Ad locos planos et solidos isagoge» (Введение в плоские и твердые места), которая не была опубликована при жизни Ферма. Однако только работа Ферма рассматривала трехмерное пространство. В XIX веке развитие геометрии трехмерного пространства связано с разработкой Уильямом Роуэном Гамильтоном кватернионов. Фактически, именно Гамильтон ввел термины «скаляр» и «вектор», и они были впервые определены в его геометрической структуре для кватернионов. Трехмерное пространство можно было описать кватернионами с нулевой скалярной составляющей, то есть, хотя Гамильтон не изучал это напрямую, это косвенно вводило понятия базиса, представленного здесь элементами кватерниона, а также скалярного и векторного произведений, которые соответствуют (отрицательному) скалярной и векторной частям произведения двух векторных кватернионов. Только Джозия Уиллард Гиббс выделил эти два произведения как самостоятельные, а современное обозначение для скалярного и векторного произведений было введено в его конспектах лекций, которые также вошли в учебник 1901 года «Векторный анализ», написанный Эдвином Бидвеллом Уилсоном на основе лекций Гиббса. Также в XIX веке произошли разработки в абстрактном формализме векторных пространств, благодаря работам Германна Грассмана и Джузеппе Пеано, последний из которых впервые дал современное определение векторных пространств как алгебраической структуры.

Координационные системы

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в трехмерном пространстве посредством трех координат. Задаются три координатные оси, каждая из которых перпендикулярна двум другим в начале координат – точке их пересечения. Обычно они обозначаются x, y и z. Относительно этих осей положение любой точки в трехмерном пространстве задается упорядоченной тройкой действительных чисел, каждое из которых представляет собой расстояние от этой точки до начала координат, измеренное вдоль данной оси, и равно расстоянию от этой точки до плоскости, определяемой двумя другими осями. Другие распространенные способы описания местоположения точки в трехмерном пространстве включают цилиндрические и сферические координаты, хотя существует бесконечное число возможных методов. Подробнее см. в статье «Евклидово пространство». Ниже представлены изображения упомянутых систем координат.

Линии и плоскости

Две различные точки всегда определяют (прямую) линию. Три различные точки либо лежат на одной прямой, либо определяют единственную плоскость. С другой стороны, четыре различные точки могут либо лежать на одной прямой, либо в одной плоскости, либо определять всё пространство. Две различные прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо скрещивающимися. Две параллельные прямые или две пересекающиеся прямые лежат в единственной плоскости, следовательно, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Две различные плоскости могут либо пересекаться по общей прямой, либо быть параллельными (то есть не пересекаться). Три различные плоскости, ни одна пара которых не параллельна, могут либо пересекаться по общей прямой, либо пересекаться в единственной общей точке, либо не иметь общих точек. В последнем случае три линии пересечения каждой пары плоскостей взаимно параллельны. Прямая может лежать в данной плоскости, пересекать эту плоскость в единственной точке или быть параллельной плоскости. В последнем случае в плоскости найдутся прямые, параллельные данной прямой. Гиперплоскость – это подпространство на одну размерность меньше, чем размерность всего пространства. Гиперплоскости трёхмерного пространства – это двухмерные подпространства, то есть плоскости. В терминах декартовых координат точки гиперплоскости удовлетворяют одному линейному уравнению, поэтому плоскости в этом трёхмерном пространстве описываются линейными уравнениями. Прямую можно описать парой независимых линейных уравнений, каждое из которых представляет плоскость, имеющую эту прямую в качестве общей линии пересечения. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон любого четырехугольника образуют параллелограмм, и, следовательно, лежат в одной плоскости.

Поверхности вращения

Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг фиксированной линии в её плоскости, служащей осью вращения, называется поверхностью вращения. Плоская кривая называется образующей поверхности. Сечение поверхности, полученное при пересечении поверхности плоскостью, перпендикулярной (ортогональной) к оси вращения, является кругом. Простые примеры возникают, когда образующая является прямой линией. Если образующая пересекает ось вращения, то поверхность вращения представляет собой прямой круговой конус, вершиной которого является точка пересечения. Однако, если образующая и ось параллельны, то поверхность вращения является круговым цилиндром.

В линейной алгебре

Другой взгляд на трехмерное пространство можно найти в линейной алгебре, где ключевым является понятие независимости. Пространство имеет три измерения, поскольку длина параллелепипеда независима от его ширины и глубины. В строгой терминологии линейной алгебры пространство является трехмерным, потому что любую точку в пространстве можно представить в виде линейной комбинации трех независимых векторов.

Резюме

Может быть полезно описать трехмерное пространство как трехмерное векторное пространство над действительными числами. Это отличается от тонким образом. По определению, существует базис для . Это соответствует изоморфизму между и : построение этого изоморфизма приведено здесь. Однако, для не существует "предпочтительного" или "канонического" базиса. С другой стороны, для существует предпочтительный базис, обусловленный его описанием как декартово произведение копий , то есть, . Это позволяет определить канонические проекции, , где , например, . Это, в свою очередь, позволяет определить стандартный базис, заданный выражением

где – дельта Кронекера. В развернутом виде стандартный базис выглядит так:

Следовательно, можно рассматривать как абстрактное векторное пространство вместе с дополнительной структурой – выбором базиса. И наоборот, можно получить, начиная с и "забывая" структуру декартова произведения, или, эквивалентно, стандартный выбор базиса. В отличие от общего векторного пространства , пространство иногда называют координатным пространством. С физической точки зрения, желательно использовать абстрактный формализм, чтобы предполагать как можно меньше структуры, если она не задана параметрами конкретной задачи. Например, в задаче с осевой симметрией работа с более конкретным описанием трехмерного пространства предполагает выбор базиса, соответствующего набору осей. Но при осевой симметрии нет оснований считать один набор осей предпочтительным по отношению к, скажем, тому же набору осей, произвольно повернутому. Другими словами, предпочтительный выбор осей нарушает осевую симметрию физического пространства. С вычислительной точки зрения, для выполнения конкретных вычислений необходимо работать с более конкретным описанием .

Сродственное описание

Более абстрактное описание состоит в том, чтобы моделировать физическое пространство как трехмерное аффинное пространство над действительными числами. Оно определено с точностью до аффинного изоморфизма. Иногда его называют трехмерным евклидовым пространством. Подобно тому, как описание векторного пространства возникает из «забывания предпочтительного базиса», описание аффинного пространства возникает из «забывания начала координат» векторного пространства. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами, чтобы отличать их от евклидовых векторных пространств. Это физически обосновано, поскольку делает явной трансляционную инвариантность физического пространства. Выбор предпочтительного начала координат нарушает трансляционную инвариантность.

Внутреннее пространство продукта

Вышеизложенное обсуждение не связано с скалярным произведением. Скалярное произведение является примером внутреннего произведения. Физическое пространство можно моделировать как векторное пространство, которое дополнительно обладает структурой внутреннего произведения. Внутреннее произведение определяет понятия длины и угла (и, следовательно, в частности, понятие ортогональности). Для любого внутреннего произведения существуют базисы, в которых внутреннее произведение совпадает со скалярным произведением, но, опять же, существует множество различных возможных базисов, ни один из которых не является предпочтительным. Они отличаются друг от друга вращением, элементом группы вращений SO(3).

Фундаментальная теорема прямых интегралов

Фундаментальная теорема о криволинейных интегралах утверждает, что криволинейный интеграл по градиентному полю можно вычислить, вычислив значение исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Пусть тогда.

Теорема дивергенции

Предположим, V является подмножеством (в случае, когда обозначает объем в 3D пространстве), которое компактно и имеет кусочно-гладкую границу S (также обозначаемую как ). Если 'F' – непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V, то теорема дивергенции утверждает:

Левая часть – это объемный интеграл по объему V, правая часть – поверхностный интеграл по границе объема V. Закрытое многообразие ∂V в общем случае является границей V, ориентированной внешними нормалями, а 'n' – это единичный вектор внешней нормали к границе ∂V. (d'S' можно использовать как сокращение для 'n'dS.)

В топологии

Трехмерное пространство обладает рядом топологических свойств, которые отличают его от пространств других размерностей. Например, для завязывания узла на веревке необходимо как минимум три измерения. В дифференциальной геометрии типичные трехмерные пространства представляются 3-многообразиями, локально похожими на .

В конечной геометрии

Многие идеи размерности могут быть проверены с помощью конечной геометрии. Самый простой пример — PG(3,2), который имеет плоскости Фано в качестве своих двумерных подпространств. Это пример геометрии Галуа, изучающей проективную геометрию с использованием конечных полей. Таким образом, для любого поля Галуа GF(q) существует трехмерное проективное пространство PG(3,q). Например, любые три непересекающиеся прямые в PG(3,q) содержатся ровно в одном регулусе.