Кіріспе
Алгебралық геометрияның шешімдерді санаумен айналысатын саласы. Математикада, санамалық геометрия – алгебралық геометрияның геометриялық мәселелерге жауаптардың санын санаумен айналысатын саласы, көбінесе қиылысу теориясының көмегімен.
In mathematics, enumerative geometry is the branch of algebraic geometry concerned with counting numbers of solutions to geometric questions, mainly by means of intersection theory.
Тарих
Аполлоний проблемасы – санама геометрияның ең алғашқы мысалдарының бірі. Бұл мәселе үш берілген шеңберге, нүктеге немесе түзуге жанасатын шеңберлердің саны мен оларды салу жолдарын анықтауға қатысты. Жалпы алғанда, үш берілген шеңбер үшін бұл мәселенің сегіз шешімі бар, оларды 2³ деп қарастыруға болады, себебі әр жанасу шарты шеңберлер жиынына квадраттық теңдеу қояды. Дегенмен, берілген шеңберлердің ерекше орналасуына байланысты, шешімдер саны 0-ден (шешім болмаса) алтыға дейінгі кез келген бүтін санға тең болуы мүмкін; Аполлоний проблемасының жеті шешімі болатын ешқандай орналасу жоқ.
Шуберт есебі
Санақ геометриясы Герман Шуберттің еңбегі арқасында XIX ғасырдың соңында қарқынды дамыды. Ол оны Шуберт есебін жүргізу мақсатымен енгізді, бұл есеп кең ауқымда геометриялық және топологиялық тұрғыдан маңызды екенін дәлелдеді. 1960-1970 жылдарға дейін (мысалы, Стивен Клейман көрсеткендей) санақ геометриясының нақты қажеттіліктеріне толыққанды назар берілмеген. Кесісу сандары қатаң түрде анықталды (Андре Вейль 1942-6 жылдардағы негізгі бағдарламасының аясында және кейіннен қайтадан), бірақ бұл санақ сұрақтарының толыққанды доменін қамтымады.
Клеменс болжамы
1984 жылы Х. Клеменс бесінші дәрежелі үштік бойынша рационалды қисықтардың санын есептеуді зерттеді және келесі болжамға келді. Егер бесінші дәрежелі үштік болса және оң бүтін сан болса, онда үстінде дәрежелі тек шектеулі ғана рационалды қисықтар бар. Бұл болжам жағдайында шешілді, бірақ жоғарырақ дәрежелер үшін әлі де ашық. 1991 жылы, жіп теориясы тұрғысынан бесінші дәрежелі үштік туралы айналысты симметрия жөніндегі мақала, үстіндегі барлық дәрежелі рационалды қисықтардың санын келтірді. Осыған дейін алгебралық геометрлер бұл сандарды тек жағдайында ғана есептей алды.
This conjecture has been resolved in the case , but is still open for higher
In 1991 the paper about mirror symmetry on the quintic threefold in from the string theoretical viewpoint gives numbers of degree d rational curves on for all Prior to this, algebraic geometers could calculate these numbers only for .