Введение

В математике, энумеративная геометрия — это раздел алгебраической геометрии, занимающийся подсчётом числа решений геометрических задач, главным образом с помощью теории пересечений.

История

Проблема Аполлония — один из самых ранних примеров энумеративной геометрии. Эта задача заключается в определении количества и построении окружностей, касающихся трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем случае, для трех заданных окружностей существует восемь решений, которые можно рассматривать как 2<sup>3</sup>. Каждое условие касания накладывает квадратичное ограничение на пространство окружностей. Однако, при определенных расположениях заданных окружностей, число решений может быть любым целым числом от 0 (отсутствие решений) до шести; не существует расположения, при котором задача Аполлония имела бы ровно семь решений.

Рассчет Шуберта

Энумеративная геометрия пережила впечатляющее развитие в конце девятнадцатого века благодаря работам Германна Шуберта. Он разработал её для целей Шубертова исчисления, которое впоследствии оказалось фундаментальным инструментом в более широких областях геометрии и топологии. Специфические задачи энумеративной геометрии не получили должного внимания до 1960-х и 1970-х годов (как отмечал, например, Стивен Клейман). Числа пересечений были строго определены (Андре Вейлем в рамках его основополагающей программы в 1942–1946 годах, и позднее неоднократно), однако этого оказалось недостаточно для полного охвата области энумеративных вопросов.

Гипотеза Клемена

В 1984 году Х. Клеменс изучал задачу о подсчете числа рациональных кривых на квинтическом тройнике и сформулировал следующий вопрос. Пусть – общий квинтический тройник, – положительное целое число, тогда существует лишь конечное число рациональных кривых степени на . Этот вопрос был решен для случая , но остается открытым для больших значений . В 1991 году в статье о зеркальной симметрии на квинтическом тройнике, рассматриваемой с точки зрения теории струн, были получены числа рациональных кривых степени на для всех . До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для .