Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сферадағы N нүкте үшін максималды қашықтық конфигурациясы. Томсон мәселесі – Кулон заңымен сипатталатын итергіш күшпен бірлік сфераның бетінде орналасқан N электронның ең төмен электростатикалық потенциалдық энергия конфигурациясын анықтау. Физик Дж. Дж. Томсон 1904 жылы атом моделін ұсынғаннан кейін, бұл мәселені қойды. Оның бұл моделі, кейіннен «көкжидек пудингі» моделі деп аталды, бейтарап атомдардың ішінде теріс зарядталған электрондардың бар екендігі туралы біліміне негізделген. Бұл мәселеге байланысты зерттеулердің ішінде ең төмен энергия конфигурациясының геометриясын және ең төмен энергияның үлкен N-ге қатысты мінез-құлқын зерттеу бар.
Max distance configuration for N points on a sphere
The objective of the Thomson problem is to determine the minimum electrostatic potential energy configuration of N electrons constrained to the surface of a unit sphere that repel each other with a force given by Coulomb's law. The physicist J. J. Thomson posed the problem in 1904 after proposing an atomic model, later called the plum pudding model, based on his knowledge of the existence of negatively charged electrons within neutrally charged atoms. Related problems include the study of the geometry of the minimum energy configuration and the study of the large N behavior of the minimum energy.
Дәл шешімдері белгілі
Математикалық дәл ең аз энергиялық конфигурациялар тек бірнеше жағдайда ғана анықталды. N = 1 үшін шешім тривиальды. Бір электрон бірлік сфераның бетіндегі кез келген нүктеде орналаса алады. Конфигурацияның жалпы энергиясы нөл деп есептеледі, себебі электрон заряды басқа заряд көздерінен туындаған электр өрісіне ұшырамайды. N = 2 үшін ең оңтайлы конфигурация антиподальды нүктелердегі электрондардан тұрады. Бұл бірінші бір өлшемді шешімді көрсетеді. N = 3 үшін электрондар кез келген үлкен шеңбер бойындағы теңқабыршалы үшбұрыштың төбелерінде орналасады. Үлкен шеңбер көбінесе сфераның экваторын анықтайды деп есептеледі, ал жазықтыққа перпендикуляр екі нүкте көптеген N электронды шешімдердің электростатикалық конфигурацияларын талқылауға көмектесу үшін полюстер деп қарастырылады. Сонымен қатар, бұл бірінші екі өлшемді шешімді көрсетеді. N = 4 үшін электрондар дұрыс тетраэдрдің төбелерінде орналасады. Қызықтысы, бұл бірінші үш өлшемді шешімді көрсетеді. N = 5 үшін 2010 жылы үшбұрышты дипирамиданың төбелерінде орналасқан электрондармен математикалық тұрғыдан нақты компьютерлік шешім жарияланды. Бір қызығы, бес немесе одан көп электроны бар кез келген N шешімінде барлық электрон жұптары арасындағы жаһандық тең қашықтық болуы мүмкін емес. N = 6 үшін электрондар дұрыс октаэдрдің төбелерінде орналасады. Конфигурацияны төрт электронды экватордағы шаршының бұрыштарында, ал қалған екеуін полюстерде орналасқан деп елестетуге болады. N = 12 үшін электрондар дұрыс икосаэдрдің төбелерінде орналасады. N = 4, 6 және 12 электронға арналған Томсон мәселесінің геометриялық шешімдері – барлық жақтары теңқабыршалы үшбұрыштардан тұратын Платон денелері. N = 8 және 20 сандық шешімдері қалған екі Платон денесінің – текше мен додекаэдрдің дұрыс дөңес көпбұрышты конфигурациялары емес.
Mathematically exact minimum energy configurations have been rigorously identified in only a handful of cases. For N = 1, the solution is trivial. The single electron may reside at any point on the surface of the unit sphere. The total energy of the configuration is defined as zero because the charge of the electron is subject to no electric field due to other sources of charge. For N = 2, the optimal configuration consists of electrons at antipodal points. This represents the first one dimensional solution. For N = 3, electrons reside at the vertices of an equilateral triangle about any great circle. The great circle is often considered to define an equator about the sphere and the two points perpendicular to the plane are often considered poles to aid in discussions about the electrostatic configurations of many N electron solutions. Also, this represents the first two dimensional solution. For N = 4, electrons reside at the vertices of a regular tetrahedron. Of interest, this represents the first three dimensional solution. For N = 5, a mathematically rigorous computer aided solution was reported in 2010 with electrons residing at vertices of a triangular dipyramid. Of interest, it is impossible for any N solution with five or more electrons to exhibit global equidistance among all pairs of electrons. For N = 6, electrons reside at vertices of a regular octahedron. The configuration may be imagined as four electrons residing at the corners of a square about the equator and the remaining two residing at the poles. For N = 12, electrons reside at the vertices of a regular icosahedron. Geometric solutions of the Thomson problem for N = 4, 6, and 12 electrons are Platonic solids whose faces are all congruent equilateral triangles. Numerical solutions for N = 8 and 20 are not the regular convex polyhedral configurations of the remaining two Platonic solids, the cube and dodecahedron respectively.
Шешу алгоритмдері
Бұл мәселеге бірнеше алгоритм қолданылды. Мыңжылдықтан бері назар энергия функциясына қолданылатын жергілікті оңтайландыру әдістеріне аударылды, бірақ кездейсоқ іздеулер де пайда болды:
Several algorithms have been applied to this problem. The focus since the millennium has been on local optimization methods applied to the energy function, although random walks have made their appearance:
Осылайша, егер дәл белгілі болса, онда да дәл белгілі. Жалпы алғанда, -нің мәні -нен үлкен, бірақ ол Томсон шешімінің кез келген -шы нұсқасына қарағанда жақын. Сондықтан, зарядты орталыққа жинақтау арқылы алынған үлестірім, басқа екі зарядтық конфигурациядан басталатын алгоритмдерге қарағанда, Томсон мәселесінің әрбір шешіміне жету үшін өтетін кішірек "энергиялық қабатты" көрсетеді.
Thus, if is known exactly, then is known exactly. In general, is greater than , but is remarkably closer to each th Thomson solution than and Therefore, the charge centered distribution represents a smaller "energy gap" to cross to arrive at a solution of each Thomson problem than algorithms that begin with the other two charge configurations.
Басқа ғылыми проблемалармен байланысы
Томсон проблемасы – Дж. Дж. Томсонның алма пирогы моделінің бірыңғай оң фонындағы заряды болмаған жағдайда туындайтын табиғи салдары. Эксперименттік деректер Томсонның алма пирогы моделін толыққанды атомдық модель ретінде қолданудан бас тартуға әкелсе де, Томсон проблемасының сандық энергиялық шешімдерінде байқалған ерекшеліктер элементтердің периодтық жүйесінде кездесетін табиғи атомдардың электрондық қабықшаларын толтырумен сәйкес келетіндігі анықталды. Томсон проблемасы басқа физикалық модельдерді зерттеуде де маңызды рөл атқарады, оның ішінде көпэлектронды көпіршіктер және Пол тұзақтарына орналастырылған сұйық металл тамшыларының беттік ретін анықтау. Жалпыланған Томсон проблемасы, мысалы, шар тәрізді вирустардың қабықшаларын құрайтын ақуыз суббірліктерінің орналасуын анықтауда туындайды. Бұл қолданыстағы "бөлшектер" – қабықшаға орналасқан ақуыз суббірліктерінің кластерлері. Басқа да мысалдарға коллоидосомалардағы коллоидты бөлшектердің реттелген орналасуы (дәрі-дәрмектер, қоректік заттар немесе тірі жасушалар сияқты белсенді ингредиенттерді қапсулалау үшін ұсынылған), көміртек атомдарының фуллерен тәрізді құрылымдары және VSEPR теориясы жатады. Ұзақ қашықтықтағы логарифмдік өзара әрекеттесудің мысалы төмен температурада үлкен монополь ортасында пайда болатын Абрикосов вортикстері болып табылады, олар суперөткізгіш металл қабығында қалыптасады.
The Thomson problem is a natural consequence of J. J. Thomson's plum pudding model in the absence of its uniform positive background charge. Though experimental evidence led to the abandonment of Thomson's plum pudding model as a complete atomic model, irregularities observed in numerical energy solutions of the Thomson problem have been found to correspond with electron shell filling in naturally occurring atoms throughout the periodic table of elements. The Thomson problem also plays a role in the study of other physical models including multi electron bubbles and the surface ordering of liquid metal drops confined in Paul traps. The generalized Thomson problem arises, for example, in determining arrangements of protein subunits that comprise the shells of spherical viruses. The "particles" in this application are clusters of protein subunits arranged on a shell. Other realizations include regular arrangements of colloid particles in colloidosomes, proposed for encapsulation of active ingredients such as drugs, nutrients or living cells, fullerene patterns of carbon atoms, and VSEPR theory. An example with long range logarithmic interactions is provided by Abrikosov vortices that form at low temperatures in a superconducting metal shell with a large monopole at its center.
Ең кіші энергияның конфигурациясы
Келесі кестеде конфигурациядағы нүктелердің (зарядтардың) саны, энергиясы, симметрия түрі Шенфлидің белгісімен берілген (үш өлшемдегі нүктелік топтарды қараңыз) және зарядтардың орналасуы көрсетілген. Көптеген симметрия түрлері үшін орналасудың векторлық қосындысы (демек, электрлік дипольдық моменті) нөлге тең болуы керек. Сондай-ақ, нүктелердің дөңгелек қабығымен құрылған көпжақтарды қарастыру қалыпты жағдай. Осылайша, берілген жиектер саны кездесетін төбелердің саны, жиектердің жалпы саны, үшбұрышты жақтардың саны, төртбұрышты жақтардың саны және ең жақын зарядтық жұппен байланысты векторлар арасындағы ең кіші бұрыш көрсетілген. Ескеріңіз, жиектердің ұзындығы әдетте тең емес. Демек, N = 2, 3, 4, 6, 12 және геодезиялық көпжақтардан басқа жағдайларда, дөңгелек қабық тек соңғы бағанда тізілген фигураға топологиялық түрде эквивалентті.
According to a conjecture, if , p is the polyhedron formed by the convex hull of m points, q is the number of quadrilateral faces of p, then the solution for m electrons is f(m): .