Введение

Максимальная конфигурация расстояний для N точек на сфере

Целью задачи Томсона является определение конфигурации с минимальной электростатической потенциальной энергией для N электронов, находящихся на поверхности единичной сферы и отталкивающихся друг от друга силой, определяемой законом Кулона. Физик Дж. Дж. Томсон сформулировал эту задачу в 1904 году после предложения атомной модели, впоследствии названной моделью «пудинга с изюмом», основанной на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтральных атомов. К смежным задачам относится изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и исследование поведения минимальной энергии при большом N.

Известные точные решения

Математически точные конфигурации с минимальной энергией были строго определены лишь в нескольких случаях. Для N = 1 решение тривиально. Единственный электрон может находиться в любой точке на поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку заряд электрона не подвержен воздействию электрического поля со стороны других источников заряда. Для N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов, расположенных в антиподальных точках. Это представляет собой первое одномерное решение. Для N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника, расположенного вокруг любого большого круга. Большой круг часто рассматривается как определяющий экватор сферы, а две точки, перпендикулярные плоскости, часто рассматриваются как полюса для облегчения обсуждения электростатических конфигураций для многих N-электронных решений. Кроме того, это представляет собой первое двумерное решение. Для N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра. Примечательно, что это представляет собой первое трехмерное решение. Для N = 5 в 2010 году было сообщено о математически строгом решении, полученном с помощью компьютера, при котором электроны находятся в вершинах треугольной дипирамиды. Интересно, что для любого N-решения с пятью или более электронами невозможно обеспечить глобальное равноудаление между всеми парами электронов. Для N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра. Конфигурацию можно представить как четыре электрона, расположенных в углах квадрата вокруг экватора, а остальные два – на полюсах. При N = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра. Геометрические решения проблемы Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов являются платоновыми телами, грани которых представляют собой конгруэнтные равносторонние треугольники. Численные решения для N = 8 и 20 не соответствуют регулярным выпуклым многогранникам, представляющим собой оставшиеся два платоновых тела – куб и додекаэдр, соответственно.

Алгоритмы решения

Для решения этой проблемы было применено несколько алгоритмов. С начала тысячелетия основное внимание уделялось методам локальной оптимизации, применяемым к энергетической функции, хотя также стали использоваться случайные блуждания: таким образом, если известно точно, то известно точно. В общем случае, больше, чем , но удивительно близко к каждому *n*-му решению Томсона, чем и . Следовательно, распределение с центральным зарядом представляет собой меньший "энергетический барьер" для преодоления при достижении решения каждой задачи Томсона, чем алгоритмы, начинающиеся с двух других конфигураций зарядов.

Связь с другими научными проблемами

Проблема Томсона является естественным следствием модели «пудинга с изюмом» Дж. Дж. Томсона при отсутствии равномерного положительного фонового заряда. Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели Томсона как от полной атомной модели, обнаружено, что нерегулярности, наблюдаемые в численных решениях проблемы Томсона, соответствуют заполнению электронных оболочек в атомах, встречающихся в природе, по всей периодической таблице элементов. Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и поверхностную упорядоченность капель жидкого металла, заключенных в ионных ловушках Поля. Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения субъединиц белка, составляющих оболочки сферических вирусов. В данном случае «частицами» являются кластеры субъединиц белка, расположенные на оболочке. Другие реализации включают регулярные расположения коллоидных частиц в коллоидосомах, предлагаемые для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теорию VSEPR. Примером взаимодействия с дальнодействующими логарифмическими силами служат вихри Абрикосова, образующиеся при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим монополем в центре.

Конфигурации наименьшей известной энергии

В следующей таблице представлено количество точек (зарядов) в конфигурации, энергия, тип симметрии, заданный в обозначении Шенфлиса (см. Точечные группы в трех измерениях), и координаты зарядов. Для большинства типов симметрии требуется, чтобы векторная сумма координат (и, следовательно, электрический дипольный момент) была равна нулю. Также принято рассматривать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, – количество вершин, в которых сходятся заданное число ребер, – общее количество ребер, – количество треугольных граней, – количество четырехугольных граней, а – наименьший угол между векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Следует отметить, что длины ребер обычно не равны. Таким образом, за исключением случаев N = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников, выпуклая оболочка топологически эквивалентна только фигуре, указанной в последней колонке.