Кіріспе
Сандар теориясы мен алгебралық геометрияда Тейт болжамы — Джон Тейттің 1963 жылғы болжамы. Ол алгебралық қисықтардағы алгебралық циклдерді, этальдік когомологиядағы Галуа өкілдігі сияқты есептеуге қолайлырақ инварианттар арқылы сипаттайды. Бұл болжам алгебралық циклдар теориясының маңызды мәселесі болып табылады және оны Ходж болжамының арифметикалық аналогы деп санауға болады.
Болжамның мазмұны
V – өзінің түпкілікті өрісі бойынша шекті түрде туындаған k өрісі үстіндегі тегіс проективті алгебралық сан болсын. ks – k өрісінің ажыратылатын жабылуы болсын, ал G – k өрісінің абсолютті Галуа тобы Gal(ks/k) болсын. k өрісінде инверт болатын l жай санын бекітіңіз. V-нің ks-ге кеңейтілген негізінің ℓ-адық когомологиялық топтарын қарастырыңыз (коэффициенттері ℓ-адық бүтін сандар Zℓ, ал кейін скалярлар ℓ-адық рационал сандарға Qℓ дейін кеңейтілген). Бұл топтар G-нің өкілдіктері болып табылады. Кез келген i ≥ 0 үшін V-нің i кодименсиялы ішкі сан (k өрісінде анықталған) G-мен бекітілген когомологиялық топтың бір элементін анықтайды. Тейт болжамы бойынша, G Галуа тобымен бекітілген W кеңістігі Qℓ векторлық кеңістігі ретінде V-нің i кодименсиялы ішкі сандарының кластарымен жазылады. Алгебралық цикл – ішкі сандардың шекті сызықтық комбинациясы; сондықтан эквивалентті тұжырым WG-нің кез келген элементі Qℓ коэффициенттері бар V-дегі алгебралық циклдің класы болып табылады.
which is fixed by G. Here Qℓ(i ) denotes the ith Tate twist, which means that this representation of the Galois group G is tensored with the ith power of the cyclotomic character. The Tate conjecture states that the subspace WG of W fixed by the Galois group G is spanned, as a Qℓ vector space, by the classes of codimension i subvarieties of V. An algebraic cycle means a finite linear combination of subvarieties; so an equivalent statement is that every element of WG is the class of an algebraic cycle on V with Qℓ coefficients.
Белгілі болған жағдайлар
Тейт болжамы делімшелер үшін (кодименсиясы 1 болатын алгебралық циклдер) – маңызды ашық мәселе. Мысалы, f : X → C морфизмі шекті өріс үстіндегі тегіс проективті беттен тегіс проективті қисыққа дейін болсын. f-тің жалпы талшығы F, k(C функциялық өрісі үстіндегі қисық болатын, k(C) үстінде тегіс деп есептейік. Онда X-тегі делімшелерге арналған Тейт болжамы, F-тің Якобиандық сорты үшін Берч пен Суиннертон-Дайер болжамына эквивалентті. Керісінше, кез келген тегіс комплекс проективті сорттағы делімшелер үшін Ходж болжамы белгілі (Лефшецтің (1,1) теоремасы). Ықтималда, ең маңызды белгілі жағдай – Тейт болжамы абельдік сорттардағы делімшелер үшін дұрыс. Бұл Тейттің шекті өрістердегі абельдік сорттар үшін, ал Фальтингтің сан өрістеріндегі абельдік сорттар үшін теоремасы, Морделл болжамын шешудің Фальтингтің бір бөлігі. Зархин бұл нәтижелерді кез келген шекті түрде жасалған базалық өріске дейін кеңейтті. Абельдік сорттардағы делімшелерге арналған Тейт болжамы, C₁ × × Cₙ қисықтарының кез келген көбейтіндісі үшін Тейт болжамын білдіреді. Абельдік сорттардағы делімшелерге арналған (белгілі) Тейт болжамы, абельдік сорттар арасындағы гомоморфизмдер туралы қуатты мәлімдемеге тең. Атап айтқанда, кез келген шекті түрде жасалған k өрісіндегі A және B абельдік сорттары үшін, табиғи бейнелеу
изоморфизм болып табылады. Атап айтқанда, Абельдік сорт A, оның Тейт модулі H¹(Aₖₛ, Zₗ) бойынша Галуа өкілдігі арқылы изогенияға дейін анықталады. Тейт болжамы 2-ге тең емес сипаттағы шекті түрде жасалған өрістердегі K₃ беттері үшін де орындалады. (Бетте болжамның маңызды бөлігі делімшелер туралы.) Нөлдік сипаттамада K₃ беттері үшін Тейт болжамын Андре мен Танкеев дәлелдеді. 2-ге тең емес сипаттамасы бар шекті өрістердегі K₃ беттері үшін Тейт болжамын Найгаард, Огус, Чарльз, Мадапуси Пера және Маулик дәлелдеді. [автор] Тейт болжамының белгілі жағдайдарын қарастырады.
Қарым-қатынас болжамы
X – шекті туындыланған k өрісіндегі тегіс проективті алгебралық сорт болсын. Жартылай қарапайымдық болжамы X-тің ℓ-адикалық когомологиясындағы G = Gal(k<sub>s</sub>/k) Галуа тобының өкілдігі жартылай қарапайым (яғни, ирредуктибелді өкілдіктердің тікелей қосындысы) екенін болжайды. 0 сипаттамалы k үшін, Тейт болжамы (жоғарыда айтылғандай) Q-мен шектелген жартылай қарапайымдылықты білдіреді. q ретіндегі шекті k үшін, Тейт Тейт болжамы мен жартылай қарапайымдық болжамы күшті Тейт болжамын білдіретінін көрсетті, атап айтқанда, Z(X, t) дзета-функциясының t = q<sup>-j</sup> нүктесіндегі полюсінің дәрежесі j кодименсиялы алгебралық циклдер тобының сандық эквиваленттілік бойынша ранкіне тең. Ходж болжамы сияқты, Тейт болжамы Гротендиктің алгебралық циклдар бойынша стандартты болжамдарының көп бөлігін білдіреді. Атап айтқанда, ол Лефшец стандартты болжамын (Лефшец изоморфизмінің керісі алгебралық сәйкестікпен анықталады); диагональдің Кюннет компоненттері алгебралық; және алгебралық циклдердің сандық эквиваленттілігі мен гомологиялық эквиваленттілігі бірдей екенін білдіреді.
For k finite of order q, Tate showed that the Tate conjecture plus the semisimplicity conjecture would imply the strong Tate conjecture, namely that the order of the pole of the zeta function Z(X, t) at t = q−j is equal to the rank of the group of algebraic cycles of codimension j modulo numerical equivalence. Like the Hodge conjecture, the Tate conjecture would imply most of Grothendieck's standard conjectures on algebraic cycles. Namely, it would imply the Lefschetz standard conjecture (that the inverse of the Lefschetz isomorphism is defined by an algebraic correspondence); that the Künneth components of the diagonal are algebraic; and that numerical equivalence and homological equivalence of algebraic cycles are the same.