Введение
В теории чисел и алгебраической геометрии гипотеза Тейта — это гипотеза Джона Тейта 1963 года, описывающая алгебраические циклы на многообразии через более вычислимую инварианту — представление Галуа на этальной когомологии. Эта гипотеза является центральной проблемой в теории алгебраических циклов и может рассматриваться как арифметический аналог гипотезы Ходжа.
Описание гипотезы
Пусть V — гладкое проективное многообразие над полем k, конечно порожденным над своим простым полем. Пусть ks — сепарабельное замыкание k, и пусть G — абсолютная группа Галуа Gal(ks/k) поля k. Зафиксируем простое число ℓ, обратимое в k. Рассмотрим ℓ-адические когомологические группы (с коэффициентами в ℓ-адических целых числах Zℓ, скаляры затем расширены до ℓ-адических чисел Qℓ) расширения базиса V до ks; эти группы являются представлениями G. Для любого i ≥ 0, подмногообразие V коразмерности i (понимается, что оно определено над k) определяет элемент когомологической группы, инвариантный относительно G. Здесь Qℓ(i) обозначает i-й сдвиг Тейта, то есть это представление группы Галуа G тензорно произведено на i-ю степень циклотомического характера. Гипотеза Тейта утверждает, что подпространство WG пространства W, фиксированное группой Галуа G, порождается, как Qℓ-векторное пространство, классами подмногообразий V коразмерности i. Алгебраический цикл означает конечную линейную комбинацию подмногообразий; таким образом, эквивалентное утверждение состоит в том, что каждый элемент WG является классом алгебраического цикла на V с коэффициентами Qℓ.
which is fixed by G. Here Qℓ(i ) denotes the ith Tate twist, which means that this representation of the Galois group G is tensored with the ith power of the cyclotomic character. The Tate conjecture states that the subspace WG of W fixed by the Galois group G is spanned, as a Qℓ vector space, by the classes of codimension i subvarieties of V. An algebraic cycle means a finite linear combination of subvarieties; so an equivalent statement is that every element of WG is the class of an algebraic cycle on V with Qℓ coefficients.
Известные случаи
Предположение Тэйта для делителей (алгебраические циклы кодименсионности 1) является одной из основных нерешенных проблем. Например, пусть f : X → C — морфизм от гладкой проективной поверхности к гладкой проективной кривой над конечным полем. Предположим, что общее волокно F морфизма f, являющееся кривой над полем функций k(C), гладко над k(C). Тогда предположение Тэйта для делителей на X эквивалентно гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера для якобиана F. В отличие от этого, гипотеза Ходжа для делителей на любом гладком комплексном проективном многообразии известна (теорема Лефшеца (1,1)). Вероятно, наиболее важным из известных случаев является то, что предположение Тэйта верно для делителей на абелевых многообразиях. Это теорема Тэйта для абелевых многообразий над конечными полями и теорема Фальтинга для абелевых многообразий над числовыми полями, часть решения Фальтингом гипотезы Морделла. Зархин распространил эти результаты на любое конечно порожденное базовое поле. Предположение Тэйта для делителей на абелевых многообразиях влечет за собой предположение Тэйта для делителей на любом произведении кривых C1 × × Cn. (Известное) предположение Тэйта для делителей на абелевых многообразиях эквивалентно мощному утверждению о гомоморфизмах между абелевыми многообразиями. А именно, для любых абелевых многообразий A и B над конечно порожденным полем k, естественное отображение является изоморфизмом. В частности, абелево многообразие A определяется с точностью до изогении представлением Галуа на его модуле Тейта H1(Aks, Zℓ). Предположение Тэйта также верно для поверхностей K3 над конечно порожденными полями характеристики, не равной 2. (На поверхности нетривиальная часть предположения касается делителей.) В характеристике 0 предположение Тэйта для поверхностей K3 было доказано Андре и Танкеевым. Для поверхностей K3 над конечными полями характеристики, не равной 2, предположение Тэйта было доказано Нигаардом, Огусом, Чарльзом, Мадапуси Перой и Мауликом. Обзоры известных случаев гипотезы Тэйта.
is an isomorphism. In particular, an abelian variety A is determined up to isogeny by the Galois representation on its Tate module H1(Aks, Zℓ). The Tate conjecture also holds for K3 surfaces over finitely generated fields of characteristic not 2. (On a surface, the nontrivial part of the conjecture is about divisors.) In characteristic zero, the Tate conjecture for K3 surfaces was proved by André and Tankeev. For K3 surfaces over finite fields of characteristic not 2, the Tate conjecture was proved by Nygaard, Ogus, Charles, Madapusi Pera, and Maulik. surveys known cases of the Tate conjecture.
Связанные с этим предположения
Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечно порожденным полем k. Гипотеза о полупростоте предсказывает, что представление группы Галуа G = Gal(ks/k) на ℓ-адической когомологии X является полупростым (то есть прямой суммой неприводимых представлений). Для k характеристики 0 показано, что гипотеза Тейта (как указано выше) влечет полупростоту.
Для k конечного порядка q Тейт показал, что гипотеза Тейта вместе с гипотезой о полупростоте влечет сильную гипотезу Тейта, а именно, что порядок полюса дзета-функции Z(X, t) при t = q−j равен рангу группы алгебраических циклов коразмерности j по модулю численной эквивалентности. Как и гипотеза Ходжа, гипотеза Тейта влечет большинство стандартных гипотез Гротендика об алгебраических циклах. А именно, она влечет стандартную гипотезу Лефшеца (что обратное к изоморфизму Лефшеца задается алгебраическим соответствием); что компоненты Кюннета диагонали алгебраичны; и что числовая эквивалентность и гомологическая эквивалентность алгебраических циклов совпадают.