Кіріспе
Ассоциативті қасиеттерді жалпылау. Математикада операда – бұл абстрактілі операциялардан тұратын құрылым, олардың әрқайсысы белгілі бір шектеулі сандағы кірістері (аргументтері) және бір шығысы болады, сондай-ақ осы операцияларды қалай біріктіру керектігінің ережесі де беріледі. Операда берілген жағдайда, алгебра – бұл жиын және осы жиынға қолданылатын нақты операциялар жиынтығы ретінде анықталады, бұл операциялар операдағы абстрактілі операциялар сияқты қасиеттерге ие. Мысалы, Ли операдасы бар, онда алгебралары – дәл Ли алгебралары; белгілі бір мағынада, барлық Ли алгебраларына ортақ операцияларды абстрактілі түрде кодтайды. Операда өзінің алгебраларына, топ өзінің топтық өкілдіктеріне ұқсас.
In mathematics, an operad is a structure that consists of abstract operations, each one having a fixed finite number of inputs (arguments) and one output, as well as a specification of how to compose these operations. Given an operad , one defines an algebra over to be a set together with concrete operations on this set which behave just like the abstract operations of For instance, there is a Lie operad such that the algebras over are precisely the Lie algebras; in a sense abstractly encodes the operations that are common to all Lie algebras. An operad is to its algebras as a group is to its group representations.
Басқа санаттарда
Осы уақытқа дейін операдтар тек жиынтар санатында қарастырылды. Көбірек айтқанда, операдтарды кез келген симметриялық моноидтік санатта C анықтау мүмкін. Онда әрқайсысы C объектісі, композиция C-дегі морфизм болады (мұнда моноидтік санаттың тензорлық көбейтіндісі белгіленеді), ал симметриялық топ элементтерінің әрекеттері C-дегі изоморфизмдер арқылы беріледі.
Көрінетін мысал – топологиялық кеңістіктер және үздіксіз бейнелеулер санаты, онда моноидтік көбейтінді Декарт көбейтіндісімен беріледі. Осы жағдайда, топологиялық операд кеңістіктер тізбегімен (жиынтардың орнына) беріледі. Операдтың құрылымдық бейнелеулері (композиция және симметриялық топтардың әрекеттері) үздіксіз деп есептеледі. Нәтижесі топологиялық операд деп аталады. Сол сияқты, операдтардың морфизмін анықтағанда, қатысатын бейнелеулердің үздіксіз болуын қажет ету керек. Операдтарды анықтаудың басқа да кең таралған жағдайларына, мысалы, коммутативтік сақинадағы модульдер, тізбектік кешендер, группоидтар (немесе тіпті категориялар санатының өзі), коалгебралар және т.б. жатады.
Алгебралық анықтама
Коммутативті R сақинасын қарастыра отырып, R-дың модульдерінің категориясын зерттейміз. R-тағы операданы эндофункторлардың моноидтік категориясындағы моноидты объект ретінде анықтауға болады, бұл белгілі бір шектілік шартты қанағаттандыруы тиіс (яғни, монад болады). Мысалы, "полиномдық эндофункторлар" категориясындағы моноидты объект операда болып табылады. Комбинаторлық түрлер категориясындағы моноидты объект – шекті жиынтықтардағы операда. Жоғарыда аталған мағынадағы операда кейде жалпыланған сақина ретінде қарастырылады. Мысалы, Николай Дуров өзінің жалпыланған сақиналарын фильтрленген колимттермен коммутациялайтын эндофункторлардың моноидтік категориясындағы моноидты объектілер ретінде анықтайды. Бұл сақинаның жалпыламасы болып табылады, себебі кез келген қарапайым сақина R, X жиынтығын X-тің тудырған еркін R модулінің негізгі жиынтығына жіберетін монадты анықтайды.
Жинақтардағы эндоморфизм операциясы және операциялық алгебралар
Ең негізгі опералар жоғарыдағы "Түсінік" бөлімінде келтірілген. Кез келген жиын үшін, барлық функциялардан тұратын эндоморфизм операдасын аламыз. Бұл опералар маңызды, себебі олар операдалық алгебраларды анықтауға көмектеседі. Егер опера болса, онда үстінен операдалық алгебра жиын және операдалық морфизм арқылы беріледі. Интуитивті түрде, мұндай морфизм операсының әрбір "абстрактты" операциясын жиынның "нақты" арлық операциясына айналдырады. Осылайша, үстінен операдалық алгебра жиыннан және операдамен абстрактілі түрде анықталған ережелерге сәйкес келетін нақты операциялардан тұрады.
"Біраз нәрсе" операциялары
Кіші 2 диск операциясы – топологиялық операция, онда түпнүсқасы нөлде орналасқан бірлік дискінің ішіндегі n қиылыспайтын дисктердің реттелген тізімдері қарастырылады. Симметриялық топ мұндай конфигурацияларға кішкентай дискілер тізімін өзгерту арқылы әсер етеді. Кішкентай дискілер үшін операдикалық композиция оң жақтағы суретте көрсетілген, мұнда элемент элементпен құрастырылады, нәтижесінде элементті алу үшін элементтің конфигурациясы кішірейтіліп, оны i-інші дискіне енгізеді, мұндағы i – 1-ден n-ге дейінгі сан. Сол сияқты, кішкентай n дискілер операциясын бірлік шардың ішіндегі қиылыспайтын n шарлардың конфигурацияларын қарастыру арқылы анықтауға болады. Алғашқыда кішкентай n кубтар операциясы немесе кішкентай интервалдар операциясы (бастапқыда кішкентай n кубтар PROP деп аталған) Майкл Бордман және Райнер Вогт бірлік гиперкубтың ішіндегі осіне параллель n өлшемді гиперкубтардың (n өлшемді интервалдардың) қиылыспайтын конфигурациялары тұрғысынан ұқсас тәсілмен анықтаған. Кейіннен ол Мэйдің күшті әсерімен кішкентай дөңгелек денелер операциясына жалпыланды, ал "кішкентай дискілер" – "кішкентай дөңгелек денелерден" туындаған "халықтық санадағы" жағдай.
Analogously, one can define the little n disks operad by considering configurations of disjoint n balls inside the unit ball of
Originally the little n cubes operad or the little intervals operad (initially called little n cubes PROPs) was defined by Michael Boardman and Rainer Vogt in a similar way, in terms of configurations of disjoint axis aligned n dimensional hypercubes (n dimensional intervals) inside the unit hypercube. Later it was generalized by May to the little convex bodies operad, and "little disks" is a case of "folklore" derived from the "little convex bodies".
Тамырланған ағаштар
Графтар теориясында тамырланған ағаштар табиғи операда құрайды. Мұнда – n жапырағы бар барлық тамырланған ағаштар жиыны, мұнда жапырақтар 1-ден n-ге дейін нөмірленген. тобы осы жиынға жапырақ белгілерін ауыстыру арқылы әрекет етеді. Операдалық композиция – i-ші жапырағын i-ші ағаштың тамырымен алмастыру арқылы беріледі, , осылайша n ағаш қосылып, үлкен ағаш құрылады, оның тамыры -ның тамырымен сәйкес келеді және жапырақтары ретімен нөмірленеді.
Швейцариялық ірімшік операты
Швейцариялық сыр операдасы – екі түсті топологиялық операда, ол бірлік жарты дискінің ішіндегі бөлек n өлшемді дисктердің және бірлік жарты дискінің түбінде орталастырылған n өлшемді жарты дисктердің конфигурациялары арқылы анықталады. Операдалық композиция бірлік дискінің ішіндегі "кішкентай" дисктердің конфигурацияларын басқа бірлік жарты дискідегі "кішкентай" дисктерге, ал бірлік жарты дискінің ішіндегі "кішкентай" дисктер мен жарты дисктердің конфигурацияларын басқа бірлік жарты дискіге біріктіру арқылы құралады. Швейцариялық сыр операдасын Александр А. Воронов анықтады. Максим Концевич оны Хохшильд кохомологиясы бойынша Делинье болжамының швейцариялық сыр нұсқасын формулировать үшін пайдаланды. Концевичтің болжамын По Ху, Игорь Криз және Александр А. Воронов ішінара, ал кейін Джастин Томас толығымен дәлелдеді.
Терминалдық симметриялық опера
Терминалдық симметриялық операда – әр n үшін бір ғана n-арлық операциясы бар операда, олардың бәрі де белгісіз әрекет етеді. Осы операданың алгебралары коммутативті жартылай топтарды құрайды; k-сызықтық алгебралар – коммутативті ассоциативті k-алгебралар болып табылады.
Қалпақ топтарының операттары
Сол сияқты, әрқайсысы Артин тоқыма тобымен берілген опера емес опера бар. Бұған қоса, бұл опера тоқыма операсының құрылымын иеленеді, бұл опера түсінігін симметриялық топтардан тоқыма топтарына жалпылайды.
Сызықтық алгебра
Сызықтық алгебрада нақты векторлық кеңістіктерді барлық сызықтық комбинациялардың операдасы бойынша алгебра деп қарастыруға болады. Бұл операда , компоненттердің түсінікті пермутациясының әрекетімен және векторлардың тізбектелуі арқылы берілген композициямен анықталады. Мысалы, вектор 2, 3, 5, 0 коэффициенттері бар сызықтық комбинация құру операциясын білдіреді. Бұл көзқарас сызықтық комбинациялардың векторлық кеңістіктегі операциялардың ең жалпы түрі екенін формалдайды. Векторлық қосу және скалярлық көбейтудің негізгі операциялары барлық сызықтық комбинациялар операдасы үшін туынды жиынтық болып табылады, ал сызықтық комбинациялар операдасы векторлық кеңістіктегі барлық мүмкін алгебралық операцияларды канондық түрде кодтайды. Сол сияқты, аффиндік, конустық және дөңгелек комбинацияларды вектордың мүшелерінің қосындысы 1-ге тең болатын, мүшелерінің барлығы теріс емес немесе екеуі де болатын субоперадаларға сәйкес деп қарастыруға болады. Графикалық тұрғыдан алғанда, бұл шексіз аффинді гипержазықтық, шексіз гипер октант және шексіз симплекс болып табылады. Бұл «модельдік кеңістіктер» ұғымын не білдіреді және стандартты симплекс осыған қатысты екенін формалдайды, сондай-ақ әрбір шектелген дөңгелек политоп симплекстің бейнесі болатыны сияқты байқауларды түсіндіреді. Мұнда субоперадалар шектеулі операцияларға және демек, жалпы теорияларға сәйкес келеді.
This point of view formalizes the notion that linear combinations are the most general sort of operation on a vector space – saying that a vector space is an algebra over the operad of linear combinations is precisely the statement that all possible algebraic operations in a vector space are linear combinations. The basic operations of vector addition and scalar multiplication are a generating set for the operad of all linear combinations, while the linear combinations operad canonically encodes all possible operations on a vector space. Similarly, affine combinations, conical combinations, and convex combinations can be considered to correspond to the sub operads where the terms of the vector sum to 1, the terms are all non negative, or both, respectively. Graphically, these are the infinite affine hyperplane, the infinite hyper octant, and the infinite simplex. This formalizes what is meant by being or the standard simplex being model spaces, and such observations as that every bounded convex polytope is the image of a simplex. Here suboperads correspond to more restricted operations and thus more general theories.
Коммутативтік сақиналық операд және Lie операд
Коммутативті сақина операды – алгебралары коммутативті сақиналар болатын операда. Ол , түрінде анықталады, онда -тың әрекеті түсінікті, ал операдалық композиция айнымалыларды қайта нөмірленген полиномдармен алмастыру арқылы беріледі. Белгілі бір тұрақты базалық өрістегі ассоциативті, коммутативті алгебралар алгебра болып табылатын ұқсас операда да анықталуы мүмкін. Осы операданың Козуль дуалы – Лей операдасы (оның алгебралары Лей алгебралары) және керісінше.
Еркін опералар
Әдеттегі алгебралық құрылымдар (мысалы, еркін алгебра құрылымы) операдтарға дейін кеңейтілуі мүмкін. -тобының әрекет ететін жиындар санаттарын білдірейік. Содан кейін операдтық композицияны ұмытушы функтор бар. Бұл ұмытушы функторға сол жақ қосымшаны құруға болады (бұл еркін функтордың стандартты анықтамасы). Егер операциялар жиыны E берілсе, онда E-дегі еркін операд болады. Топ немесе сақина сияқты, еркін құрылым операдты генераторлар мен қатынастар арқылы өрнектеуге мүмкіндік береді. Операдтың еркін бейнелеуі дегеніміз, E генераторларын сипаттайтын және эпиморфизм ядросы қатынастарды сипаттайтын еркін операдтың бөлігі ретінде жазу. Егер (симметриялық) операдтың генераторлар мен қатынастардан тұратын еркін көрсетілімі болса, онда ол квадраттық деп аталады.
Like a group or a ring, the free construction allows to express an operad in terms of generators and relations. By a free representation of an operad , we mean writing as a quotient of a free operad where E describes generators of and the kernel of the epimorphism describes the relations. A (symmetric) operad is called quadratic if it has a free presentation such that is the generator and the relation is contained in .
Клондар
Клондар – аргументтерді біріктіру арқылы ("бір деректі қайта пайдалану") жабық болатын операдтардың ерекше жағдайы. Клондар эквивалентті түрде мион (немесе клоноид) болатын операдтар ретінде де анықталуы мүмкін.