Введение

Обобщение свойств ассоциативности
В математике операда — это структура, состоящая из абстрактных операций, каждая из которых имеет фиксированное конечное число входов (аргументов) и один выход, а также описание способа композиции этих операций. Для заданной операды можно определить алгебру над ней как множество вместе с конкретными операциями на этом множестве, которые ведут себя так же, как абстрактные операции операды. Например, существует операда Ли, такая, что алгебры над ней являются как раз алгебрами Ли; в некотором смысле она абстрактно кодирует операции, общие для всех алгебр Ли. Операда по отношению к своим алгебрам аналогична группе по отношению к своим групповым представлениям.

В других категориях

До сих пор оперы рассматривались только в категории множеств. В более общем случае, можно определить опереды в любой симметричной моноидальной категории C. В этом случае каждый объект является объектом C, композиция – морфизмом в C (где обозначает тензорное произведение моноидальной категории), а действия элементов симметричной группы задаются изоморфизмами в C.

Распространенным примером является категория топологических пространств и непрерывных отображений, с моноидальным произведением, заданным декартовым произведением. В этом случае топологический операд задается последовательностью пространств (вместо множеств). Структурные отображения операды (композиция и действия симметричных групп) тогда предполагаются непрерывными. Результат называется топологическим операдом. Аналогично, в определении морфизма операд необходимо предположить, что задействованные отображения являются непрерывными. Другие распространенные области определения операд включают, например, модули над коммутативным кольцом, цепные комплексы, группоиды (или даже саму категорию категорий), коалгебры и т.д.

Алгебраическое определение

При заданном коммутативном кольце R мы рассматриваем категорию модулей над R. Операду над R можно определить как моноидный объект в моноидной категории эндофункторов (то есть монаду), удовлетворяющий некоторому условию конечности. Например, моноидный объект в категории "полиномиальных эндофункторов" является операдой. Моноидный объект в категории комбинаторных видов представляет собой операду в конечных множествах. Операду в вышеуказанном смысле иногда рассматривают как обобщенное кольцо. Например, Николай Дуров определяет свои обобщенные кольца как моноидные объекты в моноидной категории эндофункторов, коммутирующие с фильтрованными колимитами. Это обобщение кольца, поскольку каждое обычное кольцо R определяет монаду, которая отображает множество X в базовое множество свободного R-модуля, порожденного X.

Эндоморфизм операда в множествах и операдных алгебрах

Самые основные опереды приведены в разделе "Интуиция" выше. Для любого множества мы получаем операду эндоморфизмов, состоящую из всех функций. Эти опереды важны, поскольку они используются для определения операдных алгебр. Если – операда, то операдная алгебра над задается множеством и операдным морфизмом. Интуитивно, такой морфизм преобразует каждую "абстрактную" операцию из в "конкретную" -арную операцию на множестве . Таким образом, операдная алгебра над состоит из множества вместе с конкретными операциями на нем, подчиняющимися правилам, абстрактно заданным операдой .

"Нечто маленькое" оперирует

Операда маленьких 2 дисков — это топологическая операда, в которой состоят упорядоченные списки из n непересекающихся дисков внутри единичного диска с центром в начале координат. Симметрическая группа действует на такие конфигурации, переставляя список маленьких дисков. Операдная композиция для маленьких дисков проиллюстрирована на сопровождающем рисунке справа, где элемент композируется с элементом , чтобы получить элемент, полученный путём сжатия конфигурации и вставки её в i-й диск , для . Аналогично, можно определить операду маленьких n дисков, рассматривая конфигурации непересекающихся n шаров внутри единичного шара из . Изначально операда маленьких n кубов или операда маленьких интервалов (первоначально называемая PROPs маленьких n кубов) была определена Майклом Бордманом и Райнером Фогтом аналогичным образом, в терминах конфигураций непересекающихся гиперкубов (n-мерных интервалов), выровненных по осям, внутри единичного гиперкуба. Позже она была обобщена Мэем до операды маленьких выпуклых тел, а «маленькие диски» являются частным случаем, возникшим в «народном» представлении из «маленьких выпуклых тел».

Коренные деревья

В теории графов укорененные деревья образуют естественную операду. Здесь обозначается множество всех укорененных деревьев с n листьями, где листья пронумерованы от 1 до n. Группа действует на этом множестве перестановками меток листьев. Операдная композиция задается заменой i-го листа дерева на корень i-го дерева , для , таким образом прикрепляя n деревьев к и формируя большее дерево, корень которого считается тем же, что и корень , а листья нумеруются последовательно.

Швейцарский сыр

Швейцарская сырная операда — это двухцветная топологическая операда, определяемая в терминах конфигураций непересекающихся n-мерных дисков внутри единичного n-полудиска и n-мерных полудисков, центрированных в основании единичного полудиска и расположенных внутри него. Операдная композиция возникает из склеивания конфигураций "малых" дисков внутри единичного диска в "малые" диски в другом единичном полудиске, а также конфигураций "малых" дисков и полудисков внутри единичного полудиска в другой единичный полудиск. Швейцарская сырная операда была определена Александром А. Вороновым. Максим Концевич использовал её для формулировки варианта гипотезы Делиня о когомологиях Хохшильда. Гипотеза Концевича была частично доказана По Ху, Игорем Кризом и Александром А. Вороновым, а затем полностью — Джастином Томасом.

Оперная симметрия

Терминальная симметричная операда — это операда, имеющая единственную n-арную операцию для каждого n, при этом каждая из них действует тривиально. Алгебры над этой операдой — это коммутативные полугруппы; k-линейные алгебры — это коммутативные ассоциативные k-алгебры.

Операты из групп плетен

Аналогично, существует неоперада, для которой каждая компонента задается группой кос Артина. Более того, эта неоперада имеет структуру плетеной операды, которая обобщает понятие операды с симметричных групп на группы кос.

Линейная алгебра

В линейной алгебре, вещественные векторные пространства можно рассматривать как алгебры над операдой всех линейных комбинаций. Эта операда определяется для , с естественным действием перестановки компонент и композицией, задаваемой конкатенацией векторов , где . Вектор, например, представляет операцию формирования линейной комбинации с коэффициентами 2, 3, 5, 0.

Эта точка зрения формализует представление о том, что линейные комбинации являются наиболее общим типом операций над векторным пространством – утверждение о том, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, эквивалентно утверждению, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями. Основные операции сложения векторов и умножения на скаляр образуют порождающее множество для операды всех линейных комбинаций, в то время как операда линейных комбинаций канонически кодирует все возможные операции над векторным пространством. Аналогично, аффинные, конические и выпуклые комбинации можно рассматривать как соответствующие подоперадам, в которых сумма компонент вектора равна 1, все компоненты неотрицательны или оба условия выполняются одновременно, соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует смысл утверждения о том, что является или стандартный симплекс – модельными пространствами, а также такие наблюдения, как то, что любой ограниченный выпуклый политоп является образом симплекса. Здесь подоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.

Коммутативная кольцевая операда и операда Лье

Коммутативная кольцевая операда — это операда, алгебры которой являются коммутативными кольцами. Она определяется с помощью , с очевидным действием и операдной композицией, задаваемой подстановкой многочленов (с перенумерованными переменными) вместо переменных. Аналогичная операда может быть определена, алгебрами которой являются ассоциативные коммутативные алгебры над некоторым фиксированным базовым полем. Козульная двойственная операда к этой операде является операдой Ли (алгебры которой — алгебры Ли), и наоборот.

Свободные оперы

Типичные алгебраические конструкции (например, построение свободной алгебры) могут быть расширены на операды. Пусть обозначает категорию, объектами которой являются множества, на которых действует группа . Тогда существует забывающий функтор , который просто отбрасывает операдную композицию. Возможно построить левый сопряженный функтор к этому забывающему функтору (это стандартное определение свободного функтора). Для заданного набора операций E, является свободной операдой, порожденной E. Подобно группе или кольцу, свободное построение позволяет выразить операду в терминах образующих и соотношений. Под свободным представлением операды мы понимаем запись как частного от свободной операды , где E описывает образующие а ядро эпиморфизма описывает соотношения. (Симметричная) операда называется квадратичной, если у неё есть свободное представление такое, что является образующим, а соотношение содержится в .

Клоны

Клоны — это особый случай операд, которые также замкнуты относительно отождествления аргументов ("повторного использования" некоторых данных). Клоны можно эквивалентно определить как операды, которые также являются минионом (или клоноидом).