Кіріспе
Математикада голоморфты функционалдық есептеу – голоморфты функциялармен жүзеге асырылатын функционалдық есептеу. Яғни, z кешенді аргументінің f голоморфты функциясы және T операторы берілгенде, f(T) операторын құру мақсаты туады, ол f функциясын кешенді аргументтен оператор аргументіне табиғи түрде кеңейтеді. Нақтырақ айтқанда, функционалдық есептеу T спектрінің маңындағы голоморфты функциялардан шектелген операторларға үздіксіз алгебралық гомоморфизмді анықтайды. Бұл мақалада T – белгілі бір Банах кеңістігіндегі шектелген сызықты оператор болған жағдай қарастырылады. Атап айтқанда, T күрделі жазбалары бар квадраттық матрица болуы мүмкін, бұл жағдай функционалдық есептеуді көрсетуге және жалпы құрылысқа қатысты болжамдарға эвристикалық түсініктер беруге пайдаланылады.
Банах кеңістігі бойынша интеграл
Қараңыз. Бохнер интегралы
For a continuous function g defined in an open neighborhood of Γ and taking values in L(X), the contour integral ∫Γg is defined in the same way as for the scalar case. One can parametrize each γi ∈ Γ by a real interval [a, b], and the integral is the limit of the Riemann sums obtained from ever finer partitions of [a, b]. The Riemann sums converge in the uniform operator topology. We define
In the definition of the functional calculus, f is assumed to be holomorphic in an open neighborhood of Γ. It will be shown below that the resolvent mapping is holomorphic on the resolvent set. Therefore, the integral
makes sense.
Γ-ның ашық маңайында анықталған және L(X) кеңістігіндегі мәндерді қабылдайтын үздіксіз g функциясы үшін контур интегралы ∫Γg скалярлық жағдайдағыдай анықталады. Әр γi ∈ Γ-ны [a, b] нақты аралықпен параметрлеуге болады, ал интеграл – [a, b] аралығының одан сайын ұсақ бөліктерге бөлінуінен алынған Риманн сомаларының лиміті. Риманн сомалары біртекті операторлық топологияда жинақталады. Функциялық есептеудің анықтамасы бойынша f функциясы Γ-ның ашық маңайында голоморфты деп есептеледі. Төменде резольвенталық бейнелеудің резольвенталық жиынтықта голоморфты екендігі көрсетіледі. Сондықтан, бұл интегралдың мағынасы бар.
For a continuous function g defined in an open neighborhood of Γ and taking values in L(X), the contour integral ∫Γg is defined in the same way as for the scalar case. One can parametrize each γi ∈ Γ by a real interval [a, b], and the integral is the limit of the Riemann sums obtained from ever finer partitions of [a, b]. The Riemann sums converge in the uniform operator topology. We define
In the definition of the functional calculus, f is assumed to be holomorphic in an open neighborhood of Γ. It will be shown below that the resolvent mapping is holomorphic on the resolvent set. Therefore, the integral
makes sense.
σ(T) тығыздығы
Резолютивтің соңғы екі қасиетінен біз шектелген оператор T-ның спектрі σ(T) кешен сандар C-нің компактты жиыны екенін шығара аламыз. Сондықтан, егер σ(T) D ашық жиынына кіретін болса, онда σ(T) Γ-ның ішінде орналасқан және D-нің толықтығы Γ-ның сыртында қалған оң бағытталған және тегіс Джордан қисықтарының Γ = {γ1, …, γm} жүйесі табылады. Осылайша, функционалдық есептеуді анықтау үшін, белгілі бір D аймағында голоморфты болатын әр f үшін сәйкес Джордан қисықтарының отбасын табу мүмкін.
Жақсы анықталғандық
Алдыңғы талқылау интегралдың дұрыс екенін көрсетті, яғни әрбір f үшін Джордан қисықтарының қолайлы жиынтығы Γ табылады және интеграл қажетті мағынада жинақталады. Бірақ функционалдық есептеудің анықтамасы бірмәнді екені, яғни Γ таңдауына тәуелді емес екені дәлелденбеді. Осы мәселені шешуге біз енді кірісеміз.
f σ ((T) ашық көршілесінде голоморфты болады деп болғанда
Осы уақытқа дейін бұл болжамның толық күші пайдаланылмады. Интегралдың жуысуы үшін тек үздіксіздік қолданылды. Дұрыс анықталуы үшін, f функциясы G ∪ Ω′ контурларын қамтитын U ашық жиынында голоморфты болуы жеткілікті, бірақ міндетті түрде σ(T)-да емес. Бұл болжам функционалдық есептеудің гомоморфизм қасиетін дәлелдеу үшін толығымен қолданылады.
Компактты конвергенцияға қатысты сабақтастық
G ⊂ C ашық болсын және σ(T) ⊂ G болсын. G аймағындағы голоморфтық функциялардың {fk} тізбегі G-нің компактты жиынтықтарында біркелкі түрде жинақталады (бұл кейде компактты жинақталу деп аталады). Онда {fk(T)} L(X)-те жинақталады:
Қарапайымдық үшін Γ тек бір Джордан қисығынан тұрады деп есейік. Біз келесіні бағалаймыз:
Біркелкі жинақталу шартын және түрлі үздіксіздік шарттарын біріктіре отырып, k, l → ∞ болғанда жоғарыда көрсетілгеннің 0-ға жуықтайтынын көреміз. Демек, {fk(T)} Коши тізбегі, сондықтан жинақталады.
Спектрлік проекциялар
Негізгі идеясы мынадай. K, σ(T) жиынының ішкі жиыны болсын, ал U және V сәйкесінше K және σ(T) \ K үшін оқшауланған аймақтар болсын. Егер z ∈ U болса, онда e(z) = 1, ал егер z ∈ V болса, онда e(z) = 0 деп анықтаймыз. Онда e – [e(z)]² = e(z) болатын голоморфтық функция, сондықтан U ∪ V ішінде жататын және σ(T) жиынын қамтитын Γ контуры үшін сызықтық оператор T-мен коммутациялайтын және көптеген пайдалы ақпарат беретін шектелген проекция болады. Бұл жағдай тек қана K, σ(T) жиынының ішкі кеңістік топологиясында ашық және жабық болғанда ғана мүмкін. Сонымен қатар, V жиынын қауіпсіз түрде елеуге болады, өйткені ол нөлге тең, демек интегралға ешқандай үлес қосбайды. e(T) проекциясы T-ның K-дағы спектрлік проекциясы деп аталады және P(K;T) арқылы белгіленеді. Осылайша, σ(T) жиынының ішкі кеңістік топологиясында ашық және жабық кез келген K жиыны үшін, Γ – K-ні, бірақ σ(T) жиынының басқа нүктелерін қамтитын контур арқылы берілетін спектрлік проекция болады. P = P(K;T) шектелген және T-мен коммутациялайтындықтан, T-ны U ⊕ V түрінде көрсетуге мүмкіндік береді, мұнда U = TPX және V = T(I − P)X. PX және (I − P)X екеуі де T-ның инвариантты ішкі кеңістіктері, сонымен қатар σ(U) = K және σ(V) = σ(T) \ K. Маңызды қасиет – өзара ортогоналдылық. Егер L, σ(T) жиынының ішкі кеңістік топологиясындағы тағы бір ашық және жабық жиын болса, онда P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T), ал K және L жиындары оқшауланған болғанда бұл нөлге тең. Спектрлік проекциялардың көптеген қолданыс аймақтары бар. σ(T) жиынының кез келген оқшауланған нүктесі ішкі кеңістік топологиясында ашық және жабық болып табылады, сондықтан оған сәйкес спектрлік проекция бар. X өлшемі шекті болғанда, σ(T) оқшауланған нүктелерден тұрады және нәтижесінде пайда болған спектрлік проекциялар Джорданның қалыпты түрінің бір түріне әкеледі, онда бірдей өзіндік мәнге сәйкес келетін барлық Джордан блоктары біріктіріледі. Басқаша айтқанда, әр түрлі өзіндік мәнге дәл бір блок сәйкес келеді. Келесі бөлімде осы ыдырау туралы толығырақ қарастырылады. Кейде спектрлік проекциялар өздерінің бастапқы операторларынан қасиеттерді мұра етеді. Мысалы, егер T, спектрлік радиусы r бар оң матрица болса, онда Перрон-Фробениус теоремасы r ∈ σ(T) екенін көрсетеді. Сәйкес спектрлік проекция P = P(r;T) да оң және өзара ортогоналдылық бойынша басқа спектрлік проекция оң қатарға немесе бағанға ие бола алмайды. Шындығында, TP = rP және (T/r)^n → P, n → ∞ болғандықтан, бұл проекция P (Перрон проекциясы деп аталады) n өскен сайын (T/r)^n-ге жақындасады, ал оның әрбір бағаны T-ның өзіндік векторы болып табылады. Әдетте, егер T компакт оператор болса, онда σ(T) жиынындағы нөлдік емес барлық нүктелер оқшауланған, сондықтан олардың кез келген шекті ішкі жиыны T-ны ыдырату үшін қолданылуы мүмкін. Сәйкес спектрлік проекцияның әрқашан шекті ранкі болады. L(X) кеңістігіндегі ұқсас спектрлік сипаттамалары бар операторлар Рисц операторлары деп аталады. Рисц операторларының көптеген кластары (компакт операторларды қоса алғанда) L(X) идеалдары болып табылады және зерттеу үшін бай алаң береді. Алайда, егер X Гильберт кеңістігі болса, онда Рисц операторлары мен шекті ранкті операторлардың арасында дәл бір жабық идеал бар. Жоғарыда айтылғандардың көп бөлігі күрделі Банах алгебрасының жалпы контекстінде қарастырылуы мүмкін. Мұнда спектрлік проекциялар спектрлік идемпотенттер деп аталады, өйткені оларға проекциялау үшін кеңістік болмауы мүмкін.
will be a bounded projection that commutes with T and provides a great deal of useful information. It transpires that this scenario is possible if and only if K is both open and closed in the subspace topology on σ(T). Moreover, the set V can be safely ignored since e is zero on it and therefore makes no contribution to the integral. The projection e(T) is called the spectral projection of T at K and is denoted by P(K;T). Thus every subset K of σ(T) that is both open and closed in the subspace topology has an associated spectral projection given by
where Γ is a contour that encloses K but no other points of σ(T). Since P = P(K;T) is bounded and commutes with T it enables T to be expressed in the form U ⊕ V where U = T|PX and V = T|(1−P)X. Both PX and (1 − P)X are invariant subspaces of T moreover σ(U) = K and σ(V) = σ(T) \ K. A key property is mutual orthogonality. If L is another open and closed set in the subspace topology on σ(T) then P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T) which is zero whenever K and L are disjoint. Spectral projections have numerous applications. Any isolated point of σ(T) is both open and closed in the subspace topology and therefore has an associated spectral projection. When X has finite dimension σ(T) consists of isolated points and the resultant spectral projections lead to a variant of Jordan normal form wherein all the Jordan blocks corresponding to the same eigenvalue are consolidated. In other words there is precisely one block per distinct eigenvalue. The next section considers this decomposition in more detail. Sometimes spectral projections inherit properties from their parent operators. For example if T is a positive matrix with spectral radius r then the Perron–Frobenius theorem asserts that r ∈ σ(T). The associated spectral projection P = P(r;T) is also positive and by mutual orthogonality no other spectral projection can have a positive row or column. In fact TP = rP and (T/r)n → P as n → ∞ so this projection P (which is called the Perron projection) approximates (T/r)n as n increases, and each of its columns is an eigenvector of T.
More generally if T is a compact operator then all non zero points in σ(T) are isolated and so any finite subset of them can be used to decompose T. The associated spectral projection always has finite rank. Those operators in L(X) with similar spectral characteristics are known as Riesz operators. Many classes of Riesz operators (including the compact operators) are ideals in L(X) and provide a rich field for research. However if X is a Hilbert space there is exactly one closed ideal sandwiched between the Riesz operators and those of finite rank. Much of the foregoing discussion can be set in the more general context of a complex Banach algebra. Here spectral projections are referred to as spectral idempotents since there may no longer be a space for them to project onto.
Байланысты нәтижелер
Күшейтілген болжамдар бойынша, егер T – Гильберт кеңістігінде әрекет ететін нормаль оператор болса, функционалдық есептеудің доменін кеңейтуге болады. Екі нәтижені салыстырғанда, нормаль матрицалар үшін спектральдық теорема мен Жорданның канондық түрі арасындағы байланысқа ұқсас аналогия жасауға болады. Егер T нормаль оператор болса, үздіксіз функционалдық есептеуді алуға болады, яғни σ(T)-да анықталған үздіксіз функция f үшін f(T) есептелуі мүмкін. Өлшемдер теориясының құралдарын пайдалану арқылы, бұл тек өлшенетін функцияларға дейін кеңейтілуі мүмкін (Борель функционалдық есептеуін қараңыз). Осы контексте, егер E ⊂ σ(T) – Борель жиыны болса және 1E – E-нің сипаттамалық функциясы болса, проекция операторы 1E(T) – жоғарыда талқыланған ei(T)-нің нақтылануы болып табылады. Борель функционалдық есептеу Гильберт кеңістігіндегі шексіз, өзін-өзі қосатын операторларға дейін кеңейеді. Сәл абстрактілірек тілмен айтқанда, голоморфты функционалдық есептеу Банах алгебрасының кез келген элементіне, жоғарыда келтірілген дәлелдерді қолдана отырып, кеңейтілуі мүмкін. Сол сияқты, үздіксіз функционалдық есептеу кез келген C*-алгебрадағы нормаль элементтер үшін, ал өлшенетін функционалдық есептеу кез келген фон Нейман алгебрасындағы нормаль элементтер үшін қолданылады.
Шектелмеген операторлар
Голоморфты функционалдық есептеуді бос емес ашық шешілетін жиынтығы бар, шексіз жабық операторлар үшін де ұқсас жолмен анықтауға болады.