Введение
В математике голоморфное функциональное исчисление — это функциональное исчисление, использующее голоморфные функции. А именно, задана голоморфная функция f комплексного аргумента z и оператор T, и целью является построение оператора f(T), который естественным образом расширяет функцию f с комплексного аргумента на операторный аргумент. Более точно, функциональное исчисление определяет непрерывный алгебраический гомоморфизм из пространства голоморфных функций в окрестности спектра T в пространство ограниченных операторов. В данной статье будет рассмотрен случай, когда T является ограниченным линейным оператором в некотором банаховом пространстве. В частности, T может быть квадратной матрицей с комплексными элементами, что будет использовано для иллюстрации функционального исчисления и получения некоторых эвристических представлений об условиях, лежащих в основе общего построения.
Интеграл с пространственными значениями Банаха
См. интеграл Бохнера.
For a continuous function g defined in an open neighborhood of Γ and taking values in L(X), the contour integral ∫Γg is defined in the same way as for the scalar case. One can parametrize each γi ∈ Γ by a real interval [a, b], and the integral is the limit of the Riemann sums obtained from ever finer partitions of [a, b]. The Riemann sums converge in the uniform operator topology. We define
In the definition of the functional calculus, f is assumed to be holomorphic in an open neighborhood of Γ. It will be shown below that the resolvent mapping is holomorphic on the resolvent set. Therefore, the integral
makes sense.
Для непрерывной функции g, определенной в открытом окрестности Γ и принимающей значения в L(X), контурный интеграл ∫Γg определяется тем же способом, что и в скалярном случае. Каждый элемент γi ∈ Γ можно параметризовать вещественным интервалом [a, b], и интеграл является пределом сумм Римана, полученных при все более мелком разбиении [a, b]. Суммы Римана сходятся в равномерной операторной топологии. В определении функционального исчисления предполагается, что f голоморфна в открытой окрестности Γ. Ниже будет показано, что отображение резольвенты голоморфно на множестве резольвент. Следовательно, данный интеграл имеет смысл.
For a continuous function g defined in an open neighborhood of Γ and taking values in L(X), the contour integral ∫Γg is defined in the same way as for the scalar case. One can parametrize each γi ∈ Γ by a real interval [a, b], and the integral is the limit of the Riemann sums obtained from ever finer partitions of [a, b]. The Riemann sums converge in the uniform operator topology. We define
In the definition of the functional calculus, f is assumed to be holomorphic in an open neighborhood of Γ. It will be shown below that the resolvent mapping is holomorphic on the resolvent set. Therefore, the integral
makes sense.
Плотность σ(T)
Из последних двух свойств разрешителя мы можем заключить, что спектр σ(T) ограниченного оператора T является компактным подмножеством C. Следовательно, для любого открытого множества D, содержащего σ(T), существует положительно ориентированная и гладкая система кривых Жордана Γ = {γ1, …, γm}, такая, что σ(T) находится внутри Γ, а дополнение D содержится снаружи Γ. Таким образом, для определения функционального исчисления действительно можно найти подходящее семейство кривых Жордана для каждой функции f, голоморфной на некотором D.
Четко определенность
Предыдущее обсуждение показало, что интеграл имеет смысл, то есть для каждой функции f существует подходящий набор Γ кривых Жордана, и интеграл сходится в нужном смысле. Однако не было показано, что определение функционального исчисления является однозначным, то есть не зависит от выбора Γ. Эту проблему мы сейчас попытаемся разрешить.
Предполагая, что f является голоморфной в открытом соседстве с σ ((T)
До сих пор вся полнота этого предположения не была использована. Для сходимости интеграла использовалась лишь непрерывность. Для корректности определения требовалось лишь, чтобы f была голоморфной на открытом множестве U, содержащем контуры Γ ∪ Ω′, но не обязательно σ(T). Это предположение будет применено в полном объеме при доказательстве свойства гомоморфизма функционального исчисления.
Непрерывность в отношении компактной конвергенции
Пусть G ⊂ C будет открытым множеством, содержащим σ(T) ⊂ G. Предположим, что последовательность {fk} голоморфных функций на G сходится равномерно на компактных подмножествах G (это иногда называют компактной сходимостью). Тогда {fk(T)} сходится в L(X):
Предположим для простоты, что Γ состоит только из одной кривой Жордана. Оценим
Комбинируя предположение о равномерной сходимости и различные соображения непрерывности, видим, что вышесказанное стремится к 0 при k, l → ∞. Следовательно, {fk(T)} является последовательностью Коши, а значит, сходится.
Спектровые проекции
Основная идея заключается в следующем. Предположим, что K является подмножеством σ(T) и U, V – непересекающиеся окрестности K и σ(T) \ K соответственно. Определим e(z) = 1, если z ∈ U, и e(z) = 0, если z ∈ V. Тогда e – голоморфная функция с [e(z)]² = e(z), и, следовательно, для подходящего контура Γ, который лежит в U ∪ V и заключает σ(T), линейный оператор
will be a bounded projection that commutes with T and provides a great deal of useful information. It transpires that this scenario is possible if and only if K is both open and closed in the subspace topology on σ(T). Moreover, the set V can be safely ignored since e is zero on it and therefore makes no contribution to the integral. The projection e(T) is called the spectral projection of T at K and is denoted by P(K;T). Thus every subset K of σ(T) that is both open and closed in the subspace topology has an associated spectral projection given by
where Γ is a contour that encloses K but no other points of σ(T). Since P = P(K;T) is bounded and commutes with T it enables T to be expressed in the form U ⊕ V where U = T|PX and V = T|(1−P)X. Both PX and (1 − P)X are invariant subspaces of T moreover σ(U) = K and σ(V) = σ(T) \ K. A key property is mutual orthogonality. If L is another open and closed set in the subspace topology on σ(T) then P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T) which is zero whenever K and L are disjoint. Spectral projections have numerous applications. Any isolated point of σ(T) is both open and closed in the subspace topology and therefore has an associated spectral projection. When X has finite dimension σ(T) consists of isolated points and the resultant spectral projections lead to a variant of Jordan normal form wherein all the Jordan blocks corresponding to the same eigenvalue are consolidated. In other words there is precisely one block per distinct eigenvalue. The next section considers this decomposition in more detail. Sometimes spectral projections inherit properties from their parent operators. For example if T is a positive matrix with spectral radius r then the Perron–Frobenius theorem asserts that r ∈ σ(T). The associated spectral projection P = P(r;T) is also positive and by mutual orthogonality no other spectral projection can have a positive row or column. In fact TP = rP and (T/r)n → P as n → ∞ so this projection P (which is called the Perron projection) approximates (T/r)n as n increases, and each of its columns is an eigenvector of T.
More generally if T is a compact operator then all non zero points in σ(T) are isolated and so any finite subset of them can be used to decompose T. The associated spectral projection always has finite rank. Those operators in L(X) with similar spectral characteristics are known as Riesz operators. Many classes of Riesz operators (including the compact operators) are ideals in L(X) and provide a rich field for research. However if X is a Hilbert space there is exactly one closed ideal sandwiched between the Riesz operators and those of finite rank. Much of the foregoing discussion can be set in the more general context of a complex Banach algebra. Here spectral projections are referred to as spectral idempotents since there may no longer be a space for them to project onto.
будет ограниченной проекцией, коммутирующей с T и предоставляющей значимую информацию. Оказывается, этот сценарий возможен тогда и только тогда, когда K одновременно открыто и замкнуто в топологии подпространства на σ(T). Более того, множество V можно безопасно игнорировать, поскольку e обращается в нуль на нем и, следовательно, не вносит никакого вклада в интеграл. Проекция e(T) называется спектральной проекцией T на K и обозначается P(K;T). Таким образом, каждое подмножество K σ(T), которое одновременно открыто и замкнуто в топологии подпространства, имеет ассоциированную спектральную проекцию, задаваемую выражением
will be a bounded projection that commutes with T and provides a great deal of useful information. It transpires that this scenario is possible if and only if K is both open and closed in the subspace topology on σ(T). Moreover, the set V can be safely ignored since e is zero on it and therefore makes no contribution to the integral. The projection e(T) is called the spectral projection of T at K and is denoted by P(K;T). Thus every subset K of σ(T) that is both open and closed in the subspace topology has an associated spectral projection given by
where Γ is a contour that encloses K but no other points of σ(T). Since P = P(K;T) is bounded and commutes with T it enables T to be expressed in the form U ⊕ V where U = T|PX and V = T|(1−P)X. Both PX and (1 − P)X are invariant subspaces of T moreover σ(U) = K and σ(V) = σ(T) \ K. A key property is mutual orthogonality. If L is another open and closed set in the subspace topology on σ(T) then P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T) which is zero whenever K and L are disjoint. Spectral projections have numerous applications. Any isolated point of σ(T) is both open and closed in the subspace topology and therefore has an associated spectral projection. When X has finite dimension σ(T) consists of isolated points and the resultant spectral projections lead to a variant of Jordan normal form wherein all the Jordan blocks corresponding to the same eigenvalue are consolidated. In other words there is precisely one block per distinct eigenvalue. The next section considers this decomposition in more detail. Sometimes spectral projections inherit properties from their parent operators. For example if T is a positive matrix with spectral radius r then the Perron–Frobenius theorem asserts that r ∈ σ(T). The associated spectral projection P = P(r;T) is also positive and by mutual orthogonality no other spectral projection can have a positive row or column. In fact TP = rP and (T/r)n → P as n → ∞ so this projection P (which is called the Perron projection) approximates (T/r)n as n increases, and each of its columns is an eigenvector of T.
More generally if T is a compact operator then all non zero points in σ(T) are isolated and so any finite subset of them can be used to decompose T. The associated spectral projection always has finite rank. Those operators in L(X) with similar spectral characteristics are known as Riesz operators. Many classes of Riesz operators (including the compact operators) are ideals in L(X) and provide a rich field for research. However if X is a Hilbert space there is exactly one closed ideal sandwiched between the Riesz operators and those of finite rank. Much of the foregoing discussion can be set in the more general context of a complex Banach algebra. Here spectral projections are referred to as spectral idempotents since there may no longer be a space for them to project onto.
где Γ – контур, заключающий K, но не содержащий другие точки σ(T). Поскольку P = P(K;T) ограничена и коммутирует с T, это позволяет выразить T в форме U ⊕ V, где U = T|PX и V = T|(1−P)X. И PX, и (1 − P)X являются инвариантными подпространствами T, причём σ(U) = K и σ(V) = σ(T) \ K. Ключевым свойством является взаимная ортогональность. Если L – другое открытое и замкнутое множество в топологии подпространства на σ(T), то P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T), которое равно нулю, когда K и L не пересекаются. Спектральные проекции имеют многочисленные применения. Любая изолированная точка σ(T) одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства и, следовательно, имеет соответствующую спектральную проекцию. Когда X имеет конечную размерность, σ(T) состоит из изолированных точек, и полученные спектральные проекции приводят к варианту нормальной формы Жордана, в которой все блоки Жордана, соответствующие одному и тому же собственному значению, объединяются. Иными словами, существует ровно один блок для каждого собственного значения. Следующий раздел рассматривает это разложение более подробно. Иногда спектральные проекции наследуют свойства от исходных операторов. Например, если T – положительная матрица со спектральным радиусом r, то теорема Перрона — Фробениуса утверждает, что r ∈ σ(T). Связанная спектральная проекция P = P(r;T) также положительна, и в силу взаимной ортогональности никакая другая спектральная проекция не может иметь положительную строку или столбец. Фактически, TP = rP и (T/r)ⁿ → P при n → ∞, поэтому эта проекция P (которая называется проекцией Перрона) приближается к (T/r)ⁿ при увеличении n, и каждый её столбец является собственным вектором T. В более общем случае, если T – компактный оператор, то все ненулевые точки в σ(T) изолированы, и поэтому любое конечное подмножество из них можно использовать для разложения T. Связанная спектральная проекция всегда имеет конечный ранг. Операторы в L(X) с аналогичными спектральными характеристиками известны как операторы Рисса. Многие классы операторов Рисса (включая компактные операторы) являются идеалами в L(X) и предоставляют богатую область для исследований. Однако, если X – гильбертово пространство, существует ровно один замкнутый идеал, находящийся между операторами Рисса и операторами конечного ранга. Большая часть вышеизложенного может быть сформулирована в более общем контексте комплексной банаховой алгебры. Здесь спектральные проекции называются спектральными идемпотентами, поскольку для них может больше не существовать пространства, на которое можно проецировать.
will be a bounded projection that commutes with T and provides a great deal of useful information. It transpires that this scenario is possible if and only if K is both open and closed in the subspace topology on σ(T). Moreover, the set V can be safely ignored since e is zero on it and therefore makes no contribution to the integral. The projection e(T) is called the spectral projection of T at K and is denoted by P(K;T). Thus every subset K of σ(T) that is both open and closed in the subspace topology has an associated spectral projection given by
where Γ is a contour that encloses K but no other points of σ(T). Since P = P(K;T) is bounded and commutes with T it enables T to be expressed in the form U ⊕ V where U = T|PX and V = T|(1−P)X. Both PX and (1 − P)X are invariant subspaces of T moreover σ(U) = K and σ(V) = σ(T) \ K. A key property is mutual orthogonality. If L is another open and closed set in the subspace topology on σ(T) then P(K;T)P(L;T) = P(L;T)P(K;T) = P(K ∩ L;T) which is zero whenever K and L are disjoint. Spectral projections have numerous applications. Any isolated point of σ(T) is both open and closed in the subspace topology and therefore has an associated spectral projection. When X has finite dimension σ(T) consists of isolated points and the resultant spectral projections lead to a variant of Jordan normal form wherein all the Jordan blocks corresponding to the same eigenvalue are consolidated. In other words there is precisely one block per distinct eigenvalue. The next section considers this decomposition in more detail. Sometimes spectral projections inherit properties from their parent operators. For example if T is a positive matrix with spectral radius r then the Perron–Frobenius theorem asserts that r ∈ σ(T). The associated spectral projection P = P(r;T) is also positive and by mutual orthogonality no other spectral projection can have a positive row or column. In fact TP = rP and (T/r)n → P as n → ∞ so this projection P (which is called the Perron projection) approximates (T/r)n as n increases, and each of its columns is an eigenvector of T.
More generally if T is a compact operator then all non zero points in σ(T) are isolated and so any finite subset of them can be used to decompose T. The associated spectral projection always has finite rank. Those operators in L(X) with similar spectral characteristics are known as Riesz operators. Many classes of Riesz operators (including the compact operators) are ideals in L(X) and provide a rich field for research. However if X is a Hilbert space there is exactly one closed ideal sandwiched between the Riesz operators and those of finite rank. Much of the foregoing discussion can be set in the more general context of a complex Banach algebra. Here spectral projections are referred to as spectral idempotents since there may no longer be a space for them to project onto.
Сопутствующие результаты
При более сильных предположениях, когда T – нормальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, область определения функционального исчисления может быть расширена. При сравнении этих двух результатов можно провести грубую аналогию с соотношением между спектральной теоремой для нормальных матриц и жордановой канонической формой. Если T – нормальный оператор, то можно получить непрерывное функциональное исчисление, то есть можно вычислить f(T), где f – непрерывная функция, определенная на σ(T). Используя аппарат теории меры, это можно расширить на функции, которые лишь измеримы (см. борелевское функциональное исчисление). В этом контексте, если E ⊂ σ(T) – множество Бореля, а 1E – характеристическая функция множества E, то оператор проекции 1E(T) является уточнением ei(T), рассмотренного выше. Борелевское функциональное исчисление распространяется на неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. В несколько более абстратных терминах, голоморфное функциональное исчисление можно расширить на любой элемент банаховой алгебры, используя по существу те же аргументы. Аналогично, непрерывное функциональное исчисление применимо к нормальным элементам в любой C*-алгебре, а измеримое функциональное исчисление – к нормальным элементам в любой алгебре фон Неймана.
Операторы без ограничений
Голоморфный функциональный исчисление может быть определен аналогичным образом для неограниченных замкнутых операторов с непустым разрешающим множеством.