Тета бөлігіш (Θ): алгебралық геометриядағы абелдік сорттардағы маңызды түсінік. Риманның теоремалары, қисықтар мен бөлігіштер арасындағы байланыс жайлы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, тета бөлгіші Θ – алгебралық геометрия мағынасында, комплекс сандардағы (негізгі поляризацияланған) Абель түрлерінде байланысты Риман тета функциясының нөлдер жиыны арқылы анықталатын бөлгіш. Ол, демек, A-ның өлшемі dim A − 1 болатын алгебралық субварианты болып табылады.
In mathematics, the theta divisor Θ is the divisor in the sense of algebraic geometry defined on an abelian variety A over the complex numbers (and principally polarized) by the zero locus of the associated Riemann theta function. It is therefore an algebraic subvariety of A of dimension dim A − 1.
Классикалық теория
Бернхард Риманның классикалық нәтижелері Θ-ны басқаша сипаттайды, егер A алгебралық қисықтың (жинақ Риман бетінің) Якоби түрленуі J болса, C үшін. C-де P базалық нүктесін таңдау арқылы, J-ді C-дегі 0 дәрежелі бөлгіштердің сызықтық эквиваленттілік кластары ретінде қарастыру арқылы C-ден J-ге стандартты бейнелеу жасалады. Яғни, C-дегі Q нүктесі Q - P класына сәйкес келеді. J алгебралық топ болғандықтан, C-ні J-де k рет өзіне қосуға болады, бұл Wk субварианттарын тудырады. Егер g - C-нің роды болса, Риман Θ-ның J-де Wg-1-дің трансляциясы екенін дәлелдеді. Ол сондай-ақ Wg-1-дегі қандай нүктелер емес екенін сипаттады: олар g-1 дәрежелі D тиімді бөлгіштеріне сәйкес келеді, олар тұрақтылардан басқа мероморфтық функциялармен байланысты емес. Классикалық тілмен айтқанда, бұл D-лер C-де бөлгіштердің сызықтық жүйесінде жылмайды, яғни тұрақты емес функцияның полюстік бөлгішіне басымдық етпейді. Риман сондай-ақ Риманның сингулярлық теоремасын дәлелдеді, Wg-1-дегі p = class(D) нүктесінің көпкүндігін D-ге басым келетін полюстік бөлгіші бар сызықтық тәуелсіз мероморфтық функциялардың саны ретінде немесе h0(O(D)), C-дегі Картье бөлгіші ретінде D-ге байланысты голоморфтық түзу шоғының сызықтық тәуелсіз жаһандық қималарының саны ретінде анықтады.
Classical results of Bernhard Riemann describe Θ in another way, in the case that A is the Jacobian variety J of an algebraic curve (compact Riemann surface) C. There is, for a choice of base point P on C, a standard mapping of C to J, by means of the interpretation of J as the linear equivalence classes of divisors on C of degree 0. That is, Q on C maps to the class of Q − P. Then since J is an algebraic group, C may be added to itself k times on J, giving rise to subvarieties Wk. If g is the genus of C, Riemann proved that Θ is a translate on J of Wg − 1. He also described which points on Wg − 1 are non singular: they correspond to the effective divisors D of degree g − 1 with no associated meromorphic functions other than constants. In more classical language, these D do not move in a linear system of divisors on C, in the sense that they do not dominate the polar divisor of a non constant function. Riemann further proved the Riemann singularity theorem, identifying the multiplicity of a point p = class(D) on Wg − 1 as the number of linearly independent meromorphic functions with pole divisor dominated by D, or equivalently as h0(O(D)), the number of linearly independent global sections of the holomorphic line bundle associated to D as Cartier divisor on C.