Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике тета-делитель Θ — это делитель в смысле алгебраической геометрии, заданный на абелевом многообразии A над комплексными числами (и принципиально поляризованном) как нулевой локус соответствующей функции Римана тета. Таким образом, это алгебраическая подвариация A размерности dim A − 1.
In mathematics, the theta divisor Θ is the divisor in the sense of algebraic geometry defined on an abelian variety A over the complex numbers (and principally polarized) by the zero locus of the associated Riemann theta function. It is therefore an algebraic subvariety of A of dimension dim A − 1.
Классическая теория
Классические результаты Бернарда Римана описывают Θ другим образом, в случае, когда A является якобиевой разновидностью J алгебраической кривой (компактной поверхностью Римана) C. Для выбора базовой точки P на C существует стандартное отображение C в J, посредством интерпретации J как классов линейной эквивалентности делителей на C степени 0. То есть точка Q на C отображается в класс Q − P. Поскольку J является алгебраической группой, C можно k раз складывать с собой на J, получая подмногообразия Wk. Если g — род C, то Риман доказал, что Θ является трансляцией Wg − 1 на J. Он также описал, какие точки на Wg − 1 не являются особыми: они соответствуют эффективным делителям D степени g − 1, не имеющим связанных мероморфных функций, кроме констант. В более классической терминологии эти D не лежат в линейной системе делителей на C, в том смысле, что они не доминируют над полярным делителем некоторой неконстантной функции. Риман также доказал теорему об особых точках Римана, определяя кратность точки p = class(D) на Wg − 1 как число линейно независимых мероморфных функций с полярным делителем, доминирующим над D, или, эквивалентно, как h0(O(D)) — число линейно независимых глобальных сечений голоморфного пучка, ассоциированного с D как делителем Картье на C.
Classical results of Bernhard Riemann describe Θ in another way, in the case that A is the Jacobian variety J of an algebraic curve (compact Riemann surface) C. There is, for a choice of base point P on C, a standard mapping of C to J, by means of the interpretation of J as the linear equivalence classes of divisors on C of degree 0. That is, Q on C maps to the class of Q − P. Then since J is an algebraic group, C may be added to itself k times on J, giving rise to subvarieties Wk. If g is the genus of C, Riemann proved that Θ is a translate on J of Wg − 1. He also described which points on Wg − 1 are non singular: they correspond to the effective divisors D of degree g − 1 with no associated meromorphic functions other than constants. In more classical language, these D do not move in a linear system of divisors on C, in the sense that they do not dominate the polar divisor of a non constant function. Riemann further proved the Riemann singularity theorem, identifying the multiplicity of a point p = class(D) on Wg − 1 as the number of linearly independent meromorphic functions with pole divisor dominated by D, or equivalently as h0(O(D)), the number of linearly independent global sections of the holomorphic line bundle associated to D as Cartier divisor on C.