Кіріспе
Күрделілікті сандықпен бағалайтын математикалық функциялар Күрделілікті сандықпен бағалайтын математикалық функциялар. Биіктік функциясы – математикалық объектілердің күрделілігін сандықпен бағалайтын функция. Диофантикалық геометрияда биіктік функциялары Диофантикалық теңдеулердің шешімдерінің өлшемдерін анықтайды және әдетте алгебралық сорттардың (немесе алгебралық сорттар жиынының) нүктелері жиынынан нақты сандарға дейінгі функциялар болып табылады. Мысалы, рационал сандардағы классикалық немесе қарапайым биіктік әдетте координаталардың алымдары мен бөлімдерінің ең үлкені ретінде анықталады (мысалы, (3/7, 1/2) координаталары үшін 7), бірақ логарифмдік шкала бойынша.
mathematical functions that quantify complexity
A height function is a function that quantifies the complexity of mathematical objects. In Diophantine geometry, height functions quantify the size of solutions to Diophantine equations and are typically functions from a set of points on algebraic varieties (or a set of algebraic varieties) to the real numbers. For instance, the classical or naive height over the rational numbers is typically defined to be the maximum of the numerators and denominators of the coordinates (e. g. 7 for the coordinates (3/7, 1/2)), but in a logarithmic scale.
Маңыздылығы
Биіктік функциялары математиктерге рационалдық нүктелер сияқты, көлемдік тұрғыдан шексіз болатын объектілерді санауға мүмкіндік береді. Мысалы, кез келген берілген тұрақтыдан төменгі қарапайым биіктігі (ең төменгі түрде көрсетілгенде, бөлімі мен алымының максимумы) бар рационалдық сандар жиыны, рационалдық сандар жиыны шексіз болғанына қарамастан, шекті. Осыған орай, биіктік функциялары Бейкер теоремасы сияқты трансценденттік сандар теориясындағы асимптотикалық нәтижелерді дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін. Басқа жағдайларда биіктік функциялары кейбір объектілерді олардың күрделілігі бойынша ажырата алады. Мысалы, проективті кеңістіктегі кішкентай биіктігі бар (яғни, кішкентай күрделілігі бар) нүктелердің субкеңістік теоремасы гипержазықтардың шекті санында жататынын көрсетеді және Сигель теоремасын интегралдық нүктелер және S бірлік теңдеуінің шешімі туралы кеңейтеді. Биіктік функциялары Морделл-Вейль теоремасы мен Фальтингс теоремасын дәлелдеуде маңызды рөл атқарды. Алгебралық сорттардағы рационалдық нүктелердің биіктігіне қатысты Манин болжамы және Войта болжамы сияқты көптеген шешілмеген мәселелер, Диофантық жуықтау, Диофантық теңдеулер, арифметикалық геометрия және математикалық логика салаларындағы мәселелерге кең ауқымды әсер етеді.
In other cases, height functions can distinguish some objects based on their complexity. For instance, the subspace theorem proved by demonstrates that points of small height (i. e. small complexity) in projective space lie in a finite number of hyperplanes and generalizes Siegel's theorem on integral points and solution of the S unit equation. Height functions were crucial to the proofs of the Mordell–Weil theorem and Faltings's theorem by and respectively. Several outstanding unsolved problems about the heights of rational points on algebraic varieties, such as the Manin conjecture and Vojta's conjecture, have far reaching implications for problems in Diophantine approximation, Diophantine equations, arithmetic geometry, and mathematical logic.
Тарих
Биіктік функциясының алғашқы түрін Гиамбатиста Бенедетти (шамамен 1563 ж.) ұсынды, ол музыкалық интервалдың астыртындығын оның алымы мен бөлімінен алынған көбейтіндімен өлшеуге болатынын айтты (қайта келтірілген түрінде); Диофантикалық геометриядағы биіктіктерге қараңыз. Бастапқыда Андре Вейл мен Дуглас Норскотт 1920-жылдардан бастап дамытты. 1960-жылдардағы жаңалықтардың бірі – Нерон-Тейт биіктігі және биіктіктердің проективтік бейнелеулермен, алгебралық геометрияның басқа салаларындағы кең сызықтық топтамалармен ұқсас байланыста екендігін түсіну болды. 1970-жылдары Сурен Аракелов Аракелов теориясында Аракелов биіктіктерін дамытты. 1983 жылы Фальтингс Фальтингс теоремасын дәлелдеу барысында өзінің Фальтингс биіктіктерінің теориясын жасады.
Heights in Diophantine geometry were initially developed by André Weil and Douglas Northcott beginning in the 1920s. Innovations in 1960s were the Néron–Tate height and the realization that heights were linked to projective representations in much the same way that ample line bundles are in other parts of algebraic geometry. In the 1970s, Suren Arakelov developed Arakelov heights in Arakelov theory. In 1983, Faltings developed his theory of Faltings heights in his proof of Faltings's theorem.
Неронның биіктігі
Нерон-Тате биіктігі немесе каноникалық биіктік – бұл глобалдық өріс үстінде анықталған абельдік түрдің рационалдық нүктелер тобындағы (Морделл-Вейл тобы) квадраттық форма. Ол Андре Неронның, оны алғашқыда жергілікті биіктіктердің қосындысы ретінде анықтаған, және Джон Тейттің, оны жарияланбаған еңбегінде жаһандық деңгейде анықтаған есімдерімен аталады.
Вель биіктігі
X сандық өріс K-де проективті алгебралық сорт болсын. L – X-тегі түзу шоғыр болсын. Вейл биіктігі X-те L-ге қатысты келесідей анықталады. Біріншіден, L өте кең деп есептейік. Глобалды қималар кеңістігінің негізін таңдау X-тен проективті кеңістікке φ морфизмін анықтайды, және X-тегі барлық p нүктелері үшін , мұндағы h – проективті кеңістіктегі қарапайым биіктік.
, where h is the naive height on projective space.
Аракелов биіктігі
Алгебралық сандар өрісіндегі проективті кеңістіктегі Аракелов биіктігі – Фубини–Стади метрикалары арқылы Архимед өрістерінен және дәстүрлі метрика арқылы Архимед емес өрістерден келетін жергілікті үлестері бар жаһандық биіктік функциясы. Бұл әдеттегі Вейл биіктігі, ерекше метрикамен жабдықталған.
Қисалған жердің биіктігі
Сандық өрісте анықталған абельдік санның Фальтингс биіктігі – оның арифметикалық күрделілігінің өлшемі. Ол метрикаланған түзу шоғының биіктігі арқылы анықталады. Бұл түсінік Морделл болжамын дәлелдеу барысында енгізілді.
Малер өлшемімен байланыс
P-дің Малер өлшемі M(P) сонымен қатар P-дің күрделілігінің шамасы болып табылады. H(P), L(P) және M(P) үш функциясы мына теңсіздіктермен байланысты:
, мұнда – биномдық коэффициент.
Автоморфты формадағы биіктік функциялары
Аделикалық алгебралық топтың жалпы сызықтық тобындағы автоморфтық форманың анықтамасындағы шарттардың бірі – орташа өсу, ол аффиндік кеңістік ретінде қарастырылатын жалпы сызықтық топтағы биіктік функциясының өсуіне қатысты асимптотикалық шарт.
Басқа биіктік функциялары
Кемелденбейтін рационалдық санның биіктігі x = p/q, q > 0 – бұл функция және арасындағы биекция құру үшін қолданылады.