Введение
Математические функции, которые количественно определяют сложность.
Функция высоты — это функция, которая количественно определяет сложность математических объектов. В диофантовой геометрии функции высоты определяют размерность решений диофантовых уравнений и обычно являются функциями, отображающими множество точек на алгебраических многообразиях (или множество алгебраических многообразий) в множество действительных чисел. Например, классическая или наивная высота над рациональными числами обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 7 для координат (3/7, 1/2)), но в логарифмическом масштабе.
mathematical functions that quantify complexity
A height function is a function that quantifies the complexity of mathematical objects. In Diophantine geometry, height functions quantify the size of solutions to Diophantine equations and are typically functions from a set of points on algebraic varieties (or a set of algebraic varieties) to the real numbers. For instance, the classical or naive height over the rational numbers is typically defined to be the maximum of the numerators and denominators of the coordinates (e. g. 7 for the coordinates (3/7, 1/2)), but in a logarithmic scale.
Значение
Функции высоты позволяют математикам считать объекты, такие как рациональные точки, которые в противном случае бесконечны по количеству. Например, множество рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя, выраженных в несократимой форме) меньше любой заданной константы конечно, несмотря на то, что множество рациональных чисел бесконечно. В этом смысле функции высоты могут быть использованы для доказательства асимптотических результатов, таких как теорема Бейкера в трансцендентной теории чисел. В других случаях функции высоты могут различать объекты на основе их сложности. Например, теорема о подпространстве, доказанная , демонстрирует, что точки малой высоты (то есть малой сложности) в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей и обобщает теорему Сигеля об интегральных точках и решение уравнения S-единиц. Функции высоты сыграли решающую роль в доказательствах теоремы Морделла — Вейля и теоремы Фальтинга, выполненных и соответственно. Несколько важных нерешенных проблем, касающихся высот рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как гипотеза Манина и гипотеза Войты, имеют далеко идущие последствия для задач в диофантовой аппроксимации, диофантовых уравнениях, арифметической геометрии и математической логике.
In other cases, height functions can distinguish some objects based on their complexity. For instance, the subspace theorem proved by demonstrates that points of small height (i. e. small complexity) in projective space lie in a finite number of hyperplanes and generalizes Siegel's theorem on integral points and solution of the S unit equation. Height functions were crucial to the proofs of the Mordell–Weil theorem and Faltings's theorem by and respectively. Several outstanding unsolved problems about the heights of rational points on algebraic varieties, such as the Manin conjecture and Vojta's conjecture, have far reaching implications for problems in Diophantine approximation, Diophantine equations, arithmetic geometry, and mathematical logic.
История
Ранняя форма функции высоты была предложена Джанбатистой Бенедетти (ок. 1563), который утверждал, что консонанс музыкального интервала можно измерить произведением его числителя и знаменателя (в несократимой форме); см. Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вейлем и Дугласом Норскотом, начиная с 1920-х годов. Нововведениями 1960-х годов стали высота Нерона — Тата и осознание того, что высоты связаны с проективными представлениями аналогично тому, как обильные линейные расслоения связаны в других областях алгебраической геометрии. В 1970-х годах Сурен Аракелов разработал высоты Аракелова в теории Аракелова. В 1983 году Фальтингс разработал свою теорию высот Фальтинга в рамках доказательства теоремы Фальтинга.
Heights in Diophantine geometry were initially developed by André Weil and Douglas Northcott beginning in the 1920s. Innovations in 1960s were the Néron–Tate height and the realization that heights were linked to projective representations in much the same way that ample line bundles are in other parts of algebraic geometry. In the 1970s, Suren Arakelov developed Arakelov heights in Arakelov theory. In 1983, Faltings developed his theory of Faltings heights in his proof of Faltings's theorem.
Высота NéronTate
Высота Нерона–Тейта, или каноническая высота, — это квадратичная форма на группе Морделя–Вейля рациональных точек абелева многообразия, определенного над глобальным полем. Она названа в честь Андре Нерона, который впервые определил её как сумму локальных высот, и Джона Тейта, который определил её глобально в неопубликованной работе.
Высота Вейла
Пусть X — проективное многообразие над числовым полем K. Пусть L — линейное расслоение на X. Высота Вейля на X относительно L определяется следующим образом. Сначала предположим, что L очень обильное. Выбор базиса пространства глобальных сечений определяет морфизм ϕ из X в проективное пространство, и для всех точек p на X определяется , где h — наивная высота на проективном пространстве.
, where h is the naive height on projective space.
Высота Аракелова
Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел — это глобальная функция высоты, в которой локальные вклады определяются метриками Фубини–Штуди на архимедовых полях и стандартной метрикой на неархимедовых полях. По сути, это обычная высота Вейля, использующая другую метрику.
Высота обрыва
Высота Фальтинга абелева разновидность, определенная над числовым полем, является мерой ее арифметической сложности. Она определяется через высоту метризованного линейного расслоения. Она была введена в доказательстве гипотезы Морделла.
Отношение к мерам Малера
Малерская мера M(P) полинома P также является мерой его сложности. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами
где — биномиальный коэффициент.
Функции высоты в автоморфных формах
Одним из условий в определении автоморфной формы на общей линейной группе аделической алгебраической группы является умеренный рост, представляющий собой асимптотическое условие на поведение функции высоты на общей линейной группе, рассматриваемой как аффинное многообразие.
Другие функции высоты
Высота неприводимой рациональной дроби x = p/q, q > 0 — это (эта функция используется для построения биекции между и ).