Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, Жан-Пьер Серре есімімен аталған Серре мағынасындағы жұқа жиын – алгебралық геометриядағы K өрісінде, белгілі бір дәрежеде "сирек кездесетін" рұқсат етілген амалдар арқылы құрастырылатын нақты бір топтама. Екі негізгі амал: полиномдық теңдеуді шешу, оның орындалуы мүмкін немесе орындалмауы мүмкін; K өрісінде әрқашан толық көбейтілмейтін полиномды шешу. Сондай-ақ, шектеулі біріктірулер жасауға да рұқсат етіледі.
In mathematics, a thin set in the sense of Serre, named after Jean Pierre Serre, is a certain kind of subset constructed in algebraic geometry over a given field K, by allowed operations that are in a definite sense 'unlikely'. The two fundamental ones are: solving a polynomial equation that may or may not be the case; solving within K a polynomial that does not always factorise. One is also allowed to take finite unions.
Гилберттік өрістер
V-нің K үстіндегі гильберттік алгебралық сорты, егер V(K) жұқа болмаса: бұл V-нің бирационалдық инварианты. K гильберттік өрісі – K үстінде оң өлшемді гильберттік алгебралық сорт бар болса: егер K гильберттік болса, онда K үстіндегі проекциялық түзу гильберттік болады, сондықтан оны анықтама ретінде қабылдауға болады. Рационал сандар өрісі Q гильберттік, себебі Гильберттің ирредуктиблик теоремасының салдары ретінде Q үстіндегі проекциялық түзу гильберттік: шындығында, кез келген алгебралық сан өрісі гильберттік, қайтадан Гильберттің ирредуктиблик теоремасы бойынша. Жалпы алғанда, гильберттік өрістің шекті дәрежедегі кеңейтімі гильберттік болады және кез келген шекті түрде жасалған шексіз өріс гильберттік болады. және абелдік кеңейтулер. Егер N гильберттік өрістің Галуа кеңейтімі болса, онда N-нің өзі гильберттік болуы міндетті емес, бірақ Вайссауэрдің нәтижелері N-нің кез келген дұрыс шекті кеңейтімі гильберттік екенін көрсетеді. Бұл бағыттағы ең жалпы нәтиже – Харанның алмаз теоремасы. Осы және басқа да нәтижелер туралы талқылау Фрид-Жарденнің «Өріс арифметикасы» еңбегінде кездеседі. Гильберттік болу – алгебралық жабық болудан мүлдем өзгеше: мысалы, комплекс сандардың барлық жиындары жұқа. Олар, басқа жергілікті өрістермен (нақты сандар, p-адикалық сандар) бірге, гильберттік емес.
A Hilbertian variety V over K is one for which V(K) is not thin: this is a birational invariant of V. A Hilbertian field K is one for which there exists a Hilbertian variety of positive dimension over K: If K is Hilbertian then the projective line over K is Hilbertian, so this may be taken as the definition. The rational number field Q is Hilbertian, because Hilbert's irreducibility theorem has as a corollary that the projective line over Q is Hilbertian: indeed, any algebraic number field is Hilbertian, again by the Hilbert irreducibility theorem. More generally a finite degree extension of a Hilbertian field is Hilbertian and any finitely generated infinite field is Hilbertian. and abelian extensions. If N is a Galois extension of a Hilbertian field, then although N need not be Hilbertian itself, Weissauer's results asserts that any proper finite extension of N is Hilbertian. The most general result in this direction is Haran's diamond theorem. A discussion on these results and more appears in Fried Jarden's Field Arithmetic. Being Hilbertian is at the other end of the scale from being algebraically closed: the complex numbers have all sets thin, for example. They, with the other local fields (real numbers, p adic numbers) are not Hilbertian.