Введение
В математике, тонкое множество в смысле Серре, названное в честь Жана Пьера Серре, — это определённый вид подмножества, построенный в алгебраической геометрии над заданным полем K посредством разрешённых операций, которые в определённом смысле являются «маловероятными». Двумя фундаментальными операциями являются: решение полиномиального уравнения, которое может выполняться или не выполняться; и решение полиномиального уравнения в поле K, которое не всегда разлагается на множители. Также допускается взятие конечных объединений.
Гильбертовские поля
Гильбертово многообразие V над K – это многообразие, для которого V(K) не является тонким: это бирациональный инвариант V. Гильбертово поле K – это поле, для которого существует гильбертово многообразие положительной размерности над K: если K гильбертово, то проективная прямая над K также гильбертова, поэтому это можно принять за определение. Поле рациональных чисел Q является гильбертовым, поскольку теорема Гильберта об ирредуктивности имеет следствием, что проективная прямая над Q гильбертова: действительно, любое алгебраическое числовое поле гильбертово, опять же, по теореме Гильберта об ирредуктивности. В более общем случае, конечное расширение степени гильбертова поля является гильбертовым, и любое конечно порожденное бесконечное поле гильбертово. Это также верно для абелевых расширений. Если N – расширение Галуа гильбертова поля, то, хотя N необязательно само гильбертово, результаты Вайссауэра утверждают, что любое собственное конечное расширение N является гильбертовым. Наиболее общим результатом в этом направлении является теорема Харана о ромбе. Обсуждение этих результатов и других можно найти в книге Фрида и Джардена «Арифметика полей». Быть гильбертовым – это противоположность алгебраической замкнутости: например, комплексные числа имеют все множества тонкими. Они, вместе с другими локальными полями (действительными числами, p-адическими числами), не являются гильбертовыми.