Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Шексіз жиын
Шексіз жиындар
Infinite sum
infinite sums
Математикада, серия дегеніміз, берілген бастапқы шамаға бірінен кейін бірі шексіз көп шамаларды қосу операциясы. Серияны зерттеу – математикалық анализдің және оның жалпыламасы, математикалық талдаудың маңызды бөлігі. Сериялар математиканың көптеген салаларында қолданылады, тіпті шекті құрылымдарды зерттеуде де (мысалы, комбинаторикада) туынды функциялар арқылы. Математикада кеңінен таралғаннан өзге, шексіз қатарлар физика, информатика, статистика және қаржы сияқты басқа сандық ғылымдарда да жиі қолданылады. Ұзақ уақыт бойы, мұндай потенциалды шексіз қосымшаның шекті нәтиже бере алатыны парадоксалды деп есептелді. Бұл парадокс 17 ғасырда лимит тұжырымын қолдану арқылы шешілді. Зенонның Ахиллес пен тасбақасы туралы парадоксы шексіз қосымшалардың осы интуитивті емес қасиетін көрсетеді: Ахиллес тасбақаны қуалайды, бірақ жарыс басында тасбақаның орнына жеткенде, тасбақа екінші орынға жетеді; ол екінші орынға жеткенде, тасбақа үшінші орынға жетеді, және т.б. Зенон Ахиллес тасбақаны ешқашан жете алмайды, демек, қозғалыс жоқ деген қорытынды жасады. Зенон жарысты шексіз көп кіші жарыстарға бөлді, олардың әрқайсысы шекті уақытты қажет етеді, сондықтан Ахиллестің тасбақаны жете алуға кеткен жалпы уақыты серия арқылы беріледі. Парадокс шешімі – серия шексіз көп мүшелерге ие болса да, оның шекті қосындысы бар, бұл Ахиллестің тасбақаны жете алуға қажетті уақытын көрсетеді. Қазіргі терминологияда, кез келген (реттелген) шексіз мүшелер тізбегі (яғни, сандар, функциялар немесе қосыла алатын кез келген нәрсе) серияны анықтайды, бұл ai мүшелерін бірінен кейін бірі қосу операциясы. Мүшелердің шексіз саны бар екенін көрсету үшін, серияны шексіз серия деп атауға болады. Мұндай серия келесідей өрнекпен бейнеленеді (немесе белгіленеді):
In mathematics, a series is, roughly speaking, the operation of adding infinitely many quantities, one after the other, to a given starting quantity. The study of series is a major part of calculus and its generalization, mathematical analysis. Series are used in most areas of mathematics, even for studying finite structures (such as in combinatorics) through generating functions. In addition to their ubiquity in mathematics, infinite series are also widely used in other quantitative disciplines such as physics, computer science, statistics and finance. For a long time, the idea that such a potentially infinite summation could produce a finite result was considered paradoxical. This paradox was resolved using the concept of a limit during the 17th century. Zeno's paradox of Achilles and the tortoise illustrates this counterintuitive property of infinite sums: Achilles runs after a tortoise, but when he reaches the position of the tortoise at the beginning of the race, the tortoise has reached a second position; when he reaches this second position, the tortoise is at a third position, and so on. Zeno concluded that Achilles could never reach the tortoise, and thus that movement does not exist. Zeno divided the race into infinitely many sub races, each requiring a finite amount of time, so that the total time for Achilles to catch the tortoise is given by a series. The resolution of the paradox is that, although the series has an infinite number of terms, it has a finite sum, which gives the time necessary for Achilles to catch up with the tortoise. In modern terminology, any (ordered) infinite sequence of terms (that is, numbers, functions, or anything that can be added) defines a series, which is the operation of adding the ai one after the other. To emphasize that there are an infinite number of terms, a series may be called an infinite series. Such a series is represented (or denoted) by an expression like
немесе, қосынды белгісін қолдану арқылы:
or, using the summation sign,
Сериямен білдірілген қосымшалардың шексіз тізбегін тиімді түрде (кем дегенде, шекті уақыт ішінде) орындау мүмкін емес. Алайда, егер мүшелер мен олардың шекті қосындылары жататын жиын лимит тұжырымын болса, серияға мән беруге болады, оны серияның қосындысы деп атайды. Бұл мән – n шексізге ұмтылғандағы (егер лимит болса) серияның алғашқы n мүшелерінің шекті қосындысының лимиті, олар серияның n-ші ішінара қосындылары деп аталады. Яғни:
The infinite sequence of additions implied by a series cannot be effectively carried on (at least in a finite amount of time). However, if the set to which the terms and their finite sums belong has a notion of limit, it is sometimes possible to assign a value to a series, called the sum of the series. This value is the limit as n tends to infinity (if the limit exists) of the finite sums of the n first terms of the series, which are called the nth partial sums of the series. That is,
Бұл лимит болғанда, серия конвергентті немесе қосылатын немесе тізбек қосылатын деп айтылады. Бұл жағдайда лимит серияның қосындысы деп аталады. Әйтпесе, серия дивергентті болады. Белгі серияны да – яғни, мүшелерді бірінен кейін бірі шексіз қосу процесін – білдіреді, және егер серия конвергентті болса, онда серияның қосындысын – процестің нәтижесін. Бұл a және b қосындысы ретінде қосылуды – қосу процесін және оның нәтижесін білдіретін ұқсас конвенцияның жалпыламасы. Әдетте, серия мүшелері сақинадан шығады, көбінесе нақты сандар өрісінен немесе кешенді сандар өрісінен. Бұл жағдайда барлық сериялар жиыны өзі сақина (тіпті ассоциативтік алгебра) болып табылады, онда қосу серияның мүшелерін мүшемен қосудан тұрады, ал көбейту – Коши көбейтіндісі.
When this limit exists, one says that the series is convergent or summable, or that the sequence is summable. In this case, the limit is called the sum of the series. Otherwise, the series is said to be divergent. The notation denotes both the series—that is the implicit process of adding the terms one after the other indefinitely—and, if the series is convergent, the sum of the series—the result of the process. This is a generalization of the similar convention of denoting by both the addition—the process of adding—and its result—the sum of a and b. Generally, the terms of a series come from a ring, often the field of the real numbers or the field of the complex numbers. In this case, the set of all series is itself a ring (and even an associative algebra), in which the addition consists of adding the series term by term, and the multiplication is the Cauchy product.
2-дің табиғи логарифмі
Берілген кезектесетін қатардың ішінара қосындысы ретінде белгіленсін. Онда келесі теңсіздік орындалады:
Set to be the partial sum of the given alternating series Then the next inequality holds:
Taylor's theorem is a statement that includes the evaluation of the error term when the Taylor series is truncated.
Гипергеометриялық қатарлар
Қатынасты қолдану арқылы, гипергеометриялық қатар уақытында қысқартылғандағы қателік мүшесінің шамасын анықтай аламыз.
By using the ratio, we can obtain the evaluation of the error term when the hypergeometric series is truncated.
Конвергенттік сынақтар
Көптеген тізбектердің жинақталуы немесе жазылуын анықтау үшін қолданылатын түрлі сынақтар бар. n-ші мүшесіне қатысты сынақ: Егер , онда тізбек жазылады; егер , онда сынақ белгісіз болады. Салыстыру сынағы 1 (Тікелей салыстыру сынағын қараңыз): Егер қандай да бір сан үшін және жеткілікті үлкен мәндерде , онда тізбек абсолютті түрде жинақталады. Егер және барлық жеткілікті үлкен мәндерде , онда тізбек абсолютті түрде жинақталмайды (бірақ ол шартты түрде жинақталуы мүмкін, мысалы, егер мүшелерінің таңбасы кезекпен алмасса). Салыстыру сынағы 2 (Шектеу салыстыру сынағын қараңыз): Егер және жеткілікті үлкен мәндерде , онда тізбек абсолютті түрде жинақталады. Егер және барлық жеткілікті үлкен мәндерде , онда тізбек абсолютті түрде жинақталмайды (бірақ ол шартты түрде жинақталуы мүмкін, мысалы, егер мүшелерінің таңбасы кезекпен алмасса). Қатынас сынағы: Егер барлық жеткілікті үлкен үшін тұрақты болса, онда тізбек абсолютті түрде жинақталады. Егер қатынас 1-ден кіші, бірақ 1-ден кіші тұрақтыдан кіші болса, жинақталу мүмкін, бірақ бұл сынақ оны анықтамайды. Түбірлік сынақ: Егер барлық үшін жеткілікті үлкен тұрақты болса, онда тізбек абсолютті түрде жинақталады. Интегралдық сынақ: егер – [a, b] аралығында анықталған оң және монотонды төмендейтін функция болса, онда тізбек осы интеграл шекті болған жағдайда және тек осы жағдайда ғана жинақталады. Кошидің конденсациялық сынағы: Егер теріс емес және монотонды төмендейтін болса, онда екі тізбек және бірдей сипатта болады: екеуі де жинақталады немесе екеуі де жазылады. Кезектесетін тізбек сынағы: (мүшелерінің таңбасы кезекпен алмасатын) түріндегі тізбек кезектесетін тізбек деп аталады. Мұндай тізбек егер тізбек монотонды төмендесе және нөлге жақын болса ғана жинақталады. Керісіне, жалпы жағдайда дұрыс емес. Кейбір нақты тізбектер үшін арнайы жинақталу сынақтары бар, мысалы, Фурье тізбектері үшін Дини сынағы бар.
There exist many tests that can be used to determine whether particular series converge or diverge. n th term test: If , then the series diverges; if , then the test is inconclusive. Comparison test 1 (see Direct comparison test): If is an absolutely convergent series such that for some number and for sufficiently large , then converges absolutely as well. If diverges, and for all sufficiently large , then also fails to converge absolutely (though it could still be conditionally convergent, for example, if the alternate in sign). Comparison test 2 (see Limit comparison test): If is an absolutely convergent series such that for sufficiently large , then converges absolutely as well. If diverges, and for all sufficiently large , then also fails to converge absolutely (though it could still be conditionally convergent, for example, if the alternate in sign). Ratio test: If there exists a constant such that for all sufficiently large , then converges absolutely. When the ratio is less than , but not less than a constant less than , convergence is possible but this test does not establish it. Root test: If there exists a constant such that for all sufficiently large , then converges absolutely. Integral test: if is a positive monotone decreasing function defined on the interval with for all , then converges if and only if the integral is finite. Cauchy's condensation test: If is non negative and non increasing, then the two series and are of the same nature: both convergent, or both divergent. Alternating series test: A series of the form (with ) is called alternating. Such a series converges if the sequence is monotone decreasing and converges to The converse is in general not true. For some specific types of series there are more specialized convergence tests, for instance for Fourier series there is the Dini test.
Формалды қуаттар сериясы
Қуаттар тізбектерінің көптеген қолданылуы олардың қосындыларына қатысты болғанымен, қуаттар тізбектерін формальды қосындылар ретінде де қарастыруға болады, яғни ешқандай қосу операциялары орындалмайды және "+" символы – қосуға міндетті түрде сәйкес келмейтін, біріктірудің абстрактілі символы болып табылады. Мұндай жағдайда, тізбектің жуыстығы емес, коэффициенттер тізбегі қызығушылық тудырады. Формальды қуаттар тізбегі комбинаторикада басқаша басқару қиын тізбектерді сипаттау және зерттеу үшін қолданылады, мысалы, туынды функциялар әдісі арқылы. Гильберт-Пуанкаре тізбегі – сатылаған алгебраларды зерттеуде қолданылатын формальды қуаттар тізбегі. Тізбектің лиміті қарастырылмаса да, егер мүшелерге тиісті құрылым қолданылса, онда "+" символын қосуға сәйкес келетіндей етіп, қуаттар тізбегі үшін қосу, көбейту, туынды, интеграл сияқты операцияларды "формальды" түрде анықтауға болады. Көбінесе, мүшелер коммутативті сақинадан алынады, сондықтан формальды қуаттар тізбегін мүшелеп қосуға және Коши көбейтіндісі арқылы көбейтуге болады. Бұл жағдайда формальды қуаттар тізбегінің алгебрасы – негізгі сақинадағы натурал сандар моноидінің толық алгебрасы болып табылады. Егер негізгі сақина дифференциалдық алгебра болса, онда формальды қуаттар тізбегінің алгебрасы да дифференциалдық алгебра болып табылады, мүшелеп дифференциалдау орындалады.
While many uses of power series refer to their sums, it is also possible to treat power series as formal sums, meaning that no addition operations are actually performed, and the symbol "+" is an abstract symbol of conjunction which is not necessarily interpreted as corresponding to addition. In this setting, the sequence of coefficients itself is of interest, rather than the convergence of the series. Formal power series are used in combinatorics to describe and study sequences that are otherwise difficult to handle, for example, using the method of generating functions. The Hilbert–Poincaré series is a formal power series used to study graded algebras. Even if the limit of the power series is not considered, if the terms support appropriate structure then it is possible to define operations such as addition, multiplication, derivative, antiderivative for power series "formally", treating the symbol "+" as if it corresponded to addition. In the most common setting, the terms come from a commutative ring, so that the formal power series can be added term by term and multiplied via the Cauchy product. In this case the algebra of formal power series is the total algebra of the monoid of natural numbers over the underlying term ring. If the underlying term ring is a differential algebra, then the algebra of formal power series is also a differential algebra, with differentiation performed term by term.
Лоран сериясы
Лоран қатарлары дәрежелік қатарларды оң және теріс көрсеткіштерді де қатарға қою арқылы жалпылайды. Сондықтан Лоран қатары – кез келген мынадай түріндегі қатар:
Laurent series generalize power series by admitting terms into the series with negative as well as positive exponents. A Laurent series is thus any series of the form
Егер мұндай қатар жинақталса, әдетте ол диск емес, сақинада және мүмкін, кейбір шекаралық нүктелерде жинақталады. Бұл қатар жинақталу сақинасының ішкі жағындағы компактты жиынтықтарда біркелкі жинақталады.
If such a series converges, then in general it does so in an annulus rather than a disc, and possibly some boundary points. The series converges uniformly on compact subsets of the interior of the annulus of convergence.
Асимптотикалық қатарлар
Асимптотикалық қатарлар, әйтпесе асимптотикалық кеңейтулер, – шексіз қатарлар, олардың ішінара қосындылары доменнің белгілі бір нүктесіне жақындағанда жақсы жуықтама береді. Жалпы алғанда, олар жиналмайды, бірақ олар жуықтамалар тізбегі ретінде пайдалы, олардың әрқайсысы шекті сандағы мүшелер үшін ізделінетін жауапқа жақын мән береді. Айырмашылығы – асимптотикалық қатар, жинақталатын қатарлар сияқты, қалаған дәлдікте жауап беруге мүмкіндік бермейді. Шындығында, белгілі бір мүшелер санынан кейін, әдеттегі асимптотикалық қатар ең жақсы жуықтамасына жетеді; одан артық мүшелер қосылса, мұндай қатарлардың көпшілігі нашар жауап береді.
Asymptotic series, otherwise asymptotic expansions, are infinite series whose partial sums become good approximations in the limit of some point of the domain. In general they do not converge, but they are useful as sequences of approximations, each of which provides a value close to the desired answer for a finite number of terms. The difference is that an asymptotic series cannot be made to produce an answer as exact as desired, the way that convergent series can. In fact, after a certain number of terms, a typical asymptotic series reaches its best approximation; if more terms are included, most such series will produce worse answers.
Дивергентті реті
Көп жағдайда, әдеттегі мағынада жиналмайтын қатарларға шек қою қажет болады. Қосымдылық әдісі – бұл классикалық жиналу түсінігін кеңейтетін, жиналмайтын қатарлар жиынының бір бөлігіне шек тағайындау. Қосымдылық әдістеріне Чезаро қосындысы, (C,k) қосындысы, Абель қосындысы және Борель қосындысы жатады, олар жалпылығының арту ретімен (демек, көбірек жиналмайтын қатарларға қолданылады) тізімделген. Мүмкін болатын қосымдылық әдістері туралы әртүрлі жалпы нәтижелер белгілі. Сильверман–Тоеплиц теоремасы матрицалық қосымдылық әдістерін сипаттайды, бұл әдістер коэффициенттер векторына шексіз матрицаны қолдану арқылы жиналмайтын қатарды қосуға мүмкіндік береді. Жиналмайтын қатарды қосудың ең жалпы әдісі конструктивті емес және Банах шектерімен байланысты.
Under many circumstances, it is desirable to assign a limit to a series which fails to converge in the usual sense. A summability method is such an assignment of a limit to a subset of the set of divergent series which properly extends the classical notion of convergence. Summability methods include Cesàro summation, (C,k) summation, Abel summation, and Borel summation, in increasing order of generality (and hence applicable to increasingly divergent series). A variety of general results concerning possible summability methods are known. The Silverman–Toeplitz theorem characterizes matrix summability methods, which are methods for summing a divergent series by applying an infinite matrix to the vector of coefficients. The most general method for summing a divergent series is non constructive, and concerns Banach limits.