Введение

Бесконечная сумма
Бесконечные суммы

В математике ряд, грубо говоря, представляет собой операцию последовательного сложения бесконечного числа величин к заданной начальной величине. Изучение рядов является важной частью математического анализа и его обобщений, таких как дифференциальное и интегральное исчисление. Ряды используются в большинстве областей математики, в том числе для изучения конечных структур (например, в комбинаторике) с помощью генерирующих функций. Помимо широкого применения в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, информатика, статистика и финансы. Долгое время идея о том, что потенциально бесконечная сумма может привести к конечному результату, считалась парадоксальной. Этот парадокс был разрешен с использованием понятия предела в XVII веке. Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе иллюстрирует это контринтуитивное свойство бесконечных сумм: Ахиллес бежит за черепахой, но когда он достигает позиции, где находилась черепаха в начале гонки, черепаха уже переместилась на новую позицию; когда он достигает этой новой позиции, черепаха оказывается в следующей, и так далее. Зенон заключил, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, а значит, движение не существует. Зенон разделил гонку на бесконечное число подгонок, каждая из которых требует конечного времени, так что общее время, необходимое Ахиллесу для того, чтобы догнать черепаху, выражается рядом. Решение парадокса заключается в том, что, хотя ряд содержит бесконечное число членов, его сумма конечна, что и определяет время, необходимое Ахиллесу для того, чтобы догнать черепаху. В современной терминологии любая (упорядоченная) бесконечная последовательность элементов (то есть чисел, функций или чего-либо, что можно сложить) определяет ряд, который представляет собой операцию последовательного сложения элементов aᵢ. Чтобы подчеркнуть бесконечность числа членов, ряд можно назвать бесконечным рядом. Такой ряд представляется (или обозначается) выражением вида

или, используя знак суммирования,

Бесконечная последовательность сложений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно выполнена (по крайней мере, за конечное время). Однако, если множество, которому принадлежат члены ряда и их конечные суммы, имеет понятие предела, то иногда можно присвоить ряду значение, называемое суммой ряда. Это значение является пределом, к которому стремятся конечные суммы первых n членов ряда при n, стремящемся к бесконечности (если этот предел существует). Эти конечные суммы называются n-ми частичными суммами ряда. То есть,

Если этот предел существует, говорят, что ряд сходится или суммируем, или что последовательность суммируема. В этом случае предел называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся. Обозначение обозначает как сам ряд – то есть неявный процесс последовательного сложения членов бесконечно – так и, если ряд сходится, сумму ряда – результат этого процесса. Это обобщение аналогичной конвенции, согласно которой обозначает как сложение – процесс сложения – так и его результат – сумму a и b. Как правило, члены ряда берутся из кольца, часто из поля действительных чисел или поля комплексных чисел. В этом случае множество всех рядов само по себе является кольцом (и даже ассоциативной алгеброй), в котором сложение состоит в сложении рядов почленно, а умножение – в произведении Коши.

Естественный логарифм 2

Пусть S — частичная сумма данного знакочередующегося ряда. Тогда выполняется следующее неравенство:

Серия Тейлора

Теорема Тейлора — это утверждение, содержащее оценку погрешности при усечении ряда Тейлора.

Гипергеометрические ряды

Используя это соотношение, можно получить оценку погрешности при усечении гипергеометрического ряда.

Испытания конвергенции

Существует множество тестов, которые можно использовать для определения сходимости или расходимости определенных рядов. Тест на n-й член: Если , то ряд расходится; если , то тест не даёт окончательного ответа. Первый сравнительный тест (см. Тест на прямое сравнение): Если является абсолютно сходящимся рядом, таким что для некоторого числа и для достаточно больших , то также сходится абсолютно. Если расходится, и для всех достаточно больших , то также не сходится абсолютно (хотя он всё ещё может быть условно сходящимся, например, если члены ряда меняют знак). Второй сравнительный тест (см. Предельный сравнительный тест): Если является абсолютно сходящимся рядом, таким что для достаточно больших , то также сходится абсолютно. Если расходится, и для всех достаточно больших , то также не сходится абсолютно (хотя он всё ещё может быть условно сходящимся, например, если члены ряда меняют знак). Критерий Даламбера (тест отношения): Если существует такая постоянная , что для всех достаточно больших , то ряд сходится абсолютно. Если отношение меньше , но не меньше некоторой постоянной, меньшей , то сходимость возможна, но данный тест это не устанавливает. Критерий Коши (тест корня): Если существует такая постоянная , что для всех достаточно больших , то ряд сходится абсолютно. Интегральный признак Коши: Если является положительной монотонно убывающей функцией, определенной на интервале , с для всех , то ряд сходится тогда и только тогда, когда интеграл конечен. Признак Коши для конденсации рядов: Если неотрицательна и невозрастает, то два ряда и имеют одинаковый характер: либо оба сходятся, либо оба расходятся. Признак Лейбница (признак для знакочередующихся рядов): Ряд вида (где ) называется знакочередующимся. Такой ряд сходится, если последовательность монотонно убывает и стремится к нулю. Обратное утверждение, как правило, неверно. Для некоторых специфических типов рядов существуют более специализированные тесты на сходимость, например, для рядов Фурье существует тест Дини.

Формальные серии мощности

Хотя многие применения степенных рядов связаны с их суммами, также возможно рассматривать степенные ряды как формальные суммы, то есть никакие операции сложения фактически не выполняются, а символ "+" является абстрактным символом конъюнкции, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этом случае сама последовательность коэффициентов представляет интерес, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторике для описания и изучения последовательностей, которые в противном случае сложно анализировать, например, с помощью метода производящих функций. Ряд Гильберта — Пуанкаре — это формальный степенной ряд, используемый для изучения градуированных алгебр. Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если члены ряда обладают подходящей структурой, то можно определить операции, такие как сложение, умножение, дифференцирование и интегрирование для степенных рядов "формально", рассматривая символ "+" как символ сложения. В наиболее распространенном случае члены ряда берутся из коммутативного кольца, так что формальный степенной ряд можно складывать почленно и умножать с помощью произведения Коши. В этом случае алгебра формальных степенных рядов является полной алгеброй моноида натуральных чисел над базовым кольцом членов ряда. Если базовое кольцо членов ряда является дифференциальной алгеброй, то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, при этом дифференцирование выполняется почленно.

Серия Лоранта

Ряд Лорана обобщает степенной ряд, допуская в ряд члены с отрицательными, а также положительными показателями степени. Таким образом, ряд Лорана — это любой ряд вида

Если такой ряд сходится, то, как правило, он сходится в кольцевой области, а не в круге, и, возможно, в некоторых точках на границе. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутренней области кольца сходимости.

Асимптотические ряды

Асимптотические ряды, или асимптотические разложения, — это бесконечные ряды, частичные суммы которых становятся хорошими приближениями при стремлении к некоторой точке области определения. В общем случае они не сходятся, но полезны как последовательности приближений, каждое из которых даёт значение, близкое к искомому результату для конечного числа членов. Отличие состоит в том, что точность асимптотического ряда нельзя повысить до произвольного уровня, как это возможно сходимыми рядами. Фактически, после определённого числа членов типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего приближения; добавление новых членов в большинстве случаев ухудшает результат.

Дивергентные серии

Во многих случаях желательно присваивать предел ряду, который не сходится в обычном смысле. Метод суммирования – это присвоение предела подмножеству множества расходящихся рядов, которое расширяет классическое понятие сходимости. Методы суммирования включают суммирование Чезаро, суммирование (C,k), суммирование Абеля и суммирование Бореля, в порядке возрастания общности (и, следовательно, применимы к все более расходящимся рядам). Известно множество общих результатов, касающихся возможных методов суммирования. Теорема Сильвермана — Тоеплица характеризует методы суммирования матрицами, которые представляют собой методы суммирования расходящихся рядов путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Наиболее общий метод суммирования расходящегося ряда является неконструктивным и связан с пределами Банаха.