Кіріспе

Сақиналардағы эквиваленттік қатынас

Абстрактілік алгебрада Морита эквиваленттігі – көптеген сақиналық теориялық қасиеттерді сақтайтын сақиналар арасында анықталған қатынас. Нақтырақ айтқанда, R, S сияқты екі сақина Морита эквиваленті ( деп белгіленеді) егер олардың модульдер санаттары аддитивті эквивалентті болса ( деп белгіленеді). Бұл қатынас 1958 жылы эквиваленттілік және оған ұқсас дуалдылық ұғымын анықтаған жапон математигі Киити Моританың есімімен аталған.

Мотивация

Шыбықтар көбінесе олардың модульдері тұрғысынан зерттеледі, себебі модульдерді сақиналардың өрнектемелері ретінде қарастыруға болады. Кез келген R сақинасының өзінде R модульдік құрылымы болады, онда модульдік әрекет сақинадағы көбейту арқылы анықталады, сондықтан модульдер арқылы қарау көбірек мүмкіндіктер береді және пайдалы ақпарат ұсынады. Осы себепті, сақинаны зерттегенде, көбінесе сол сақинадағы модульдер санатын зерттейді. Морита эквиваленттілігі осы көзқарасты логикалық аяқталуға жеткізеді, егер олардың модульдер санаттары эквивалентті болса, онда сақиналар Морита эквивалентті деп анықталады. Бұл түсінік тек коммутативті емес сақиналармен жұмыс істегенде ғана маңызды, өйткені екі коммутативті сақина Морита эквивалентті болуы мүмкін, егер және тек қана олар изоморфты болса.

Анықтама

R және S (ассоциативті, 1-ге ие) екі сақинасы (Морита) эквивалентті деп аталады, егер R-дың (сол) модульдер санаты, R Mod, және S-тың (сол) модульдер санаты, S Mod, эквивалентті болса. R Mod және S Mod сол жақ модульдер санаттарының эквивалентті екені, оң жақ модульдер санаттары Mod R және Mod S эквивалентті болғанда ғана орын алатынын көрсетуге болады. Сонымен қатар, R Mod-тан S Mod-қа эквиваленттілікті қамтамасыз ететін кез келген функтор автоматты түрде аддитивті екенін көрсетуге болады.

Мысалдар

Кез келген екі изоморфты сақина Morita эквиваленті болып табылады. R элементтерінен құралған n × n матрицалар сақинасы, Mn(R) деп белгіленеді, кез келген n > 0 үшін R-ге Morita эквивалентті. Бұл Артин-Уеддерберн теориясымен берілген қарапайым артиниан сақиналарының жіктелуін жалпылайтынын ескеріңіз. Эквиваленттілікті түсіну үшін, егер X сол R модуль болса, онда Xn – Mn(R) модуль болады, мұнда модульдің құрылымы X-тен алынған баған векторларының сол жағынан матрицалық көбейтуімен анықталады. Бұл сол R модульдер санатынан сол Mn(R) модульдер санатына дейін функторды анықтауға мүмкіндік береді. Кері функтор кез келген Mn(R) модуль үшін сол R модуль X-тің бар екенін ескеру арқылы анықталады, сондықтан Mn(R) модулі X-тен жоғарыда сипатталғандай алынады.

Қосымша нұсқаулар

Эквиваленттер теориясына қарама-қарсы модульдер санаттары арасындағы дуалдықтар теориясы тұр, онда қолданылатын функторлар ковариант емес, контровариант болып табылады. Бұл теория формасы жағынан ұқсас болғанымен, маңызды айырмашылықтарға ие, себебі кез келген сақиналар үшін модульдер санаттары арасында дуалдық болмайды, алайда кіші санаттар үшін дуалдықтар болуы мүмкін. Яғни, шексіз өлшемді модульдер көбінесе рефлексивті болмайтындықтан, дуалдықтар теориясы нётер сақиналары арқылы шектеулі түрде жасалған алгебраларға оңай қолданылады. Көптің күткендей, жоғарыдағы критерий дуалдықтар үшін де аналогтыққа ие, онда табиғи изоморфизм тензорлық функтордың орнына гомо функторы арқылы беріледі. Морита эквиваленттілігі симплектік группоидтар және C* алгебралар сияқты құрылымды жағдайларда да анықталуы мүмкін. C* алгебралар жағдайында, қосымша құрылымдарының (инволюциялық * операциясынан туындаған) және C* алгебралардың міндетті түрде бірлік элементінің болмауы себепті, қолданбалы нәтижелер алу үшін күшті Морита эквиваленттілігі деп аталатын күшті типтік эквиваленттілік қажет.

К-теориядағы маңызы

Егер екі сақина Морита эквиваленті болса, онда проективті модульдердің тиісті категорияларының индукциялық эквиваленті болады, себебі Морита эквиваленттіліктері дәл тізбектерді (және осымен проективті модульдерді) сақтайды. Квиленнің тәсілінде алгебралық K-теория сақина үстіндегі шекті жасалған проективті модульдердің (кішкентай) категориясының нервінің жіктеу кеңістігінің гомотопиялық топтары арқылы анықталғандықтан, Морита эквивалентті сақиналардың K-топтары изоморфты болуы керек.