Жүзіктер теориясындағы жай идеалдар

Кіріспе

Сақинадағы идеал, жай элементтерге ұқсас қасиеттері бар сақинада өте жақсы. Сақина теориясындағы идеалдар.

Алгебрада, жай идеал – сақинаның кіші жиыны, ол бүтін сандар сақинасындағы жай санның көптеген маңызды қасиеттерін бөліседі. Бүтін сандар үшін жай идеалдар – бұл нөлдік идеалмен бірге берілген жай санның барлық еселіктерін қамтитын жиынтар. Бастапқы идеалдар жай, ал жай идеалдар – біріншілік және жартылай біріншілік болып табылады.

Мысалдар

Қарапайым мысал: сақинадағы жұп сандар жиыны – жай идеал. Бұтылқан доменді қарастыра отырып, кез келген жай элемент негізгі жай идеалды тудырады. Айзенштейннің бұтылқан домендер (соның ішінде UFD) үшін критерийі полиномдық сақинадағы элементтің толық болатынын анықтау үшін тиімді құрал болып табылады. Мысалы, қандай да бір өрістегі полиномдық сақинадағы толық полиномды алыңыз. Егер R екі айнымалыдағы полиномдар сақинасын білдірсе, онда Y² − X³ − X − 1 полиномымен құрылған идеал – жай идеал (эллиптік қисыққа қараңыз). Бүтін сандық коэффициенттері бар барлық полиномдар сақинасында 2 және X арқылы құрылған идеал – жай идеал. Ол тұрақты коэффициенті жұп саннан тұратын барлық полиномдардан тұрады. Кез келген R сақинасында максималды идеал – R сақинасының барлық дұрыс идеалдары жиынында максималды болатын M идеалы, яғни M R сақинасының дәл екі идеалында орналасқан, атап айтқанда, M өзінде және R сақинасының толық құрамында. Кез келген максималды идеал шын мәнінде жай идеал болып табылады. Негізгі идеалдық доменде нөлден өзге кез келген жай идеал максималды, бірақ бұл жалпы жағдайда дұрыс емес. UFD үшін Гилберттің Nullstellensatz теоремасы әрбір максималды идеалдың түрі мынадай екенін көрсетеді: Егер M тегіс көпқырлылық болса, R – M-дегі тегіс нақты функциялар сақинасы, ал x – M-дегі нүкте болса, онда барлық тегіс функциялар жиыны f R-де жай идеалды (тіпті максималды идеалды) құрайды.

Қасиеттері

R сақинасындағы (бірлікпен) I идеалы R/I факторлы сақинасы интегралды домен болса және тек сонда ғана жай идеал болып табылады. Атап айтқанда, коммутативті сақина (бірлікпен) егер және тек қана (0) жай идеал болса, интегралды домен болып табылады. (Нөлдік сақинада жай идеалдар жоқ екенін ескеріңіз, өйткені (0) идеалы – бүкіл сақина.) I идеалы жай идеал болып табылады, егер және тек егер оның жиындық толықтығы көбейту бойынша жабық болса. Кез келген нөлдік емес сақинада кем дегенде бір жай идеал бар (іс жүзінде, кем дегенде бір максималды идеал бар), бұл Крулл теоремасының тікелей салдары. Жалпы алғанда, егер S – R сақинасындағы кез келген көбейту бойынша жабық жиын болса, онда Круллға байланысты лемма R сақинасында S жиынымен қиылыспайтын максималды идеалдың бар екенін көрсетеді, және бұл идеал жай болуы керек. Бұл коммутативті емес сақиналарға да қатысты (төменде қараңыз). Бұл жағдайда Крулл теоремасы бар, және ол R сақинасының максималды идеалдарын қалпына келтіреді. Тағы бір прототиптік m жүйесі – нөлдік емес элементтің барлық оң дәрежелерінің жиыны {x, x^(2), x^(3), x^(4), …}. Сақина гомоморфизмі арқылы жай идеалдың кері образы – жай идеал. Бұл максималды идеалдар үшін әрқашан дұрыс емес, сондықтан алгебралық геометрлер сақина спектрін оның максималды емес, жай идеалдарының жиыны деп анықтайды; олар сақиналар гомоморфизмін олардың спектрлері арасындағы бейнелеуге қалайды. Барлық жай идеалдар жиыны (сақина спектрі деп аталады) минималды элементтерді (минималды жай идеалдар деп аталады) қамтиды. Геометриялық тұрғыдан алғанда, олар спектрдің азайтылмайтын компоненттеріне сәйкес келеді. Екі жай идеалдың қосындысы міндетті түрде жай емес. Мысал ретінде, x^(2) + y^(2) − 1 және x арқылы құрылған идеалдары бар сақинаны қарастырайық. Олардың қосындысы жай емес, бірақ оның екі факторы да жай емес. Басқаша айтқанда, факторлы сақинада нөлдік бөлгіштер бар, сондықтан ол интегралды домен емес, демек P + Q жай идеал бола алмайды. Екі идеалға жіктелмейтін әрбір идеал жай идеал емес; мысалы, жіктелмейтін, бірақ жай емес идеалдар бар. Кем дегенде екі элементі бар R коммутативті сақинасында, егер әрбір дұрыс идеал жай болса, онда сақина – дала. (Егер (0) идеалы жай болса, онда R сақинасы интегралды домен болып табылады. Егер q – R сақинасының нөлдік емес элементі болса және (q^(2)) идеалы жай болса, онда ол q-ны қамтиды, содан кейін q инверттелуге болады.) Нөлдік емес негізгі идеал егер және тек егер ол жай элементпен құрылса ғана жай болып табылады. UFD-де әрбір нөлдік емес жай идеал жай элементті қамтиды.

An ideal I in the ring R (with unity) is prime if and only if the factor ring R/I is an integral domain. In particular, a commutative ring (with unity) is an integral domain if and only if (0) is a prime ideal. (Note that the zero ring has no prime ideals, because the ideal (0) is the whole ring.) An ideal I is prime if and only if its set theoretic complement is multiplicatively closed. Every nonzero ring contains at least one prime ideal (in fact it contains at least one maximal ideal), which is a direct consequence of Krull's theorem. More generally, if S is any multiplicatively closed set in R, then a lemma essentially due to Krull shows that there exists an ideal of R maximal with respect to being disjoint from S, and moreover the ideal must be prime. This can be further generalized to noncommutative rings (see below). In the case we have Krull's theorem, and this recovers the maximal ideals of R. Another prototypical m system is the set, {x, x^(2), x^(3), x^(4), }, of all positive powers of a non nilpotent element. The preimage of a prime ideal under a ring homomorphism is a prime ideal. The analogous fact is not always true for maximal ideals, which is one reason algebraic geometers define the spectrum of a ring to be its set of prime rather than maximal ideals; one wants a homomorphism of rings to give a map between their spectra. The set of all prime ideals (called the spectrum of a ring) contains minimal elements (called minimal prime ideals). Geometrically, these correspond to irreducible components of the spectrum. The sum of two prime ideals is not necessarily prime. For an example, consider the ring with prime ideals and (the ideals generated by x^(2) + y^(2) − 1 and x respectively). Their sum however is not prime: but its two factors are not. Alternatively, the quotient ring has zero divisors so it is not an integral domain and thus P + Q cannot be prime. Not every ideal which cannot be factored into two ideals is a prime ideal; e. g. cannot be factored but is not prime. In a commutative ring R with at least two elements, if every proper ideal is prime, then the ring is a field. (If the ideal (0) is prime, then the ring R is an integral domain. If q is any non zero element of R and the ideal (q^(2)) is prime, then it contains q and then q is invertible.) A nonzero principal ideal is prime if and only if it is generated by a prime element. In a UFD, every nonzero prime ideal contains a prime element.

Қолданылуы

Алгебралық геометриядағы бастапқы идеалдардың бір қолданысы сорттарды полиномдық сақиналардағы идеалдардың нөлдік жиындары ретінде анықтауда көрінеді. Азайғысыз сорттар бастапқы идеалдарға сәйкес келеді. Қазіргі абстрактілі тәсілде кез келген коммутативтік сақинадан бастап, оның бастапқы идеалдары жиыны, сондай-ақ оның спектрі топологиялық кеңістікке айналдырылады, осылайша схемалар деп аталатын сорттардың обобщениелерін анықтауға болады, олар геометрияда ғана емес, сандар теориясында да қолданылады. Алгебралық сандар теориясына бастапқы идеалдарды енгізу маңызды қадам болды: арифметиканың негізгі теоремасында көрініс тапқан бірегей жіктелудің маңызды қасиеті алгебралық бүтін сандардың кез келген сақинасында орындалмайтыны анықталды, бірақ Ричард Дедекинд элементтерді идеалдармен және жай элементтерді жай идеалдармен алмастырғанда оның орнына қолданылатын нәрсе табылды; Дедекинд доменіне қараңыз.

Мысалдар

Кез келген жай идеал – жай. Коммутативті сақиналардағыдай, максималды идеалдар жай, және жай идеалдар ең кіші жай идеалдарды қамтиды. Сақина жай сақина болады, егер және ғана егер нөлдік идеал жай идеал болса, және одан әрі сақина домен болады, егер және ғана егер нөлдік идеал толық жай идеал болса. Коммутативтік теориядан алынған тағы бір факт, егер А нөлдік емес R модуль болса, ал P – А-ның субмодульдерінің жойғыш идеалдарының жиынындағы максималды элемент болса, онда P жай болады.

Маңызды деректер

Басты қашу леммасы. Егер R коммутативті сақина болса, ал A – субринг (бірліксіз болуы мүмкін), ал I1, …, In – R сақинасының ең көп дегенде екі мүшесі жай емес идеалдар жиыны болса, онда егер A ешбір Ij-ге кірмесе, онда ол I1, …, In жиынының бірігіне де кірмейді. Атап айтқанда, A – R сақинасының идеалы болуы мүмкін. Егер S – R сақинасының кез келген m-жүйесі болса, онда Круллға байланысты лемма R сақинасында S-тан ажыратылған I идеалының максималды екенін көрсетеді, сонымен қатар I идеалы жай болуы керек (I-нің жайлығы келесідей дәлелденуі мүмкін: егер , онда I идеалының максималды қасиетіне сәйкес, мұндай элементтер бар. Егер , онда , бұл қайшылыққа әкеледі). Жай идеалдардың төмендеу тізбегінің мүшелерінің қиылысуы – жай идеал, ал коммутативті сақинада жай идеалдардың жоғарылау тізбегінің мүшелерінің бірігі – жай идеал. Зорн леммасымен бұл байқаулар коммутативті сақинаның жай идеалдар жиынының (ішкі кіріктіру арқылы ішінара реттелген) максималды және минималды элементтері бар екенін көрсетеді.

Максимальдылыққа қосылу

Негізгі идеалдар көбінесе идеалдардың белгілі бір жинақтарының максималдық элементтері ретінде туындауы мүмкін. Мысалы:
М белгілі бір жүйесімен бос қиылысы бар идеал максималды болса, ол негізгі болады. Белгілі бір R модулі M-нің субмодульдерінің жойғыштары ішінде максималды идеал негізгі болады. Коммутативті сақинада, негізгі емес болуы бойынша максималды идеал негізгі болады. Коммутативті сақинада, санаулы түрде туындамайтын идеал максималды болса, ол негізгі болады.