Кіріспе
Нөлден басқа нөл бөлгіштері жоқ коммутативті сақина. Математикада, интегралды домен – нөлден басқа кез келген екі элементтің көбейтіндісі нөлден басқа болатын, нөлдік емес коммутативті сақина. Интегралды домендер бүтін сандар сақинасының обобщениесі болып табылады және бөлінгіштікті зерттеу үшін қолайлы ортаны қамтамасыз етеді. Интегралды доменде әрбір нөлдік емес элемент а үшін ануляциялық қасиет тән, яғни егер a ≠ 0 болса, теңдік "Интегралды домен" анықтамасы жоғарыда көрсетілгендей, көбінесе осылай беріледі, бірақ кейбір вариациялар бар. Бұл мақалада сақиналардың көбейту бірлігі бар деп ескереді, әдетте 1 деп белгіленеді, бірақ кейбір авторлар интегралды домендерге көбейту бірлігі болуын міндетті етпейді. Коммутативті емес интегралды домендерге де рұхсат етіледі. Дегенмен, бұл мақалада "интегралды домен" термині тек коммутативті жағдай үшін, ал "домен" термині коммутативті емес сақиналарды қоса, жалпы жағдай үшін қолданылады. Кейбір авторлар, мысалы Ланг, интегралды домен үшін "толық сақина" терминін пайдаланады. Интегралды домендердің нақты түрлері келесі сыныптық қосымдар тізбегімен берілген:
In mathematics, an integral domain is a nonzero commutative ring in which the product of any two nonzero elements is nonzero. Integral domains are generalizations of the ring of integers and provide a natural setting for studying divisibility. In an integral domain, every nonzero element a has the cancellation property, that is, if a ≠ 0, an equality implies
"Integral domain" is defined almost universally as above, but there is some variation. This article follows the convention that rings have a multiplicative identity, generally denoted 1, but some authors do not follow this, by not requiring integral domains to have a multiplicative identity. Noncommutative integral domains are sometimes admitted. This article, however, follows the much more usual convention of reserving the term "integral domain" for the commutative case and using "domain" for the general case including noncommutative rings. Some sources, notably Lang, use the term entire ring for integral domain. Some specific kinds of integral domains are given with the following chain of class inclusions:
Анықтама
Интегралды домен – нөлдік емес коммутативтік сақина, онда кез келген екі нөлдік емес элементтің көбейтіндісі нөлдік емес болады. Басқаша айтқанда:
Интегралды домен – нөлден басқа нөлдік бөлгіштері жоқ нөлден басқа коммутативтік сақина. Интегралды домен – нөлдік идеал {0} жай идеал болатын коммутативтік сақина. Интегралды домен – нөлден басқа элементтері көбейту бойынша қысқартылатын нөлден басқа коммутативтік сақина. Интегралды домен – нөлден басқа элементтер жиыны көбейту бойынша коммутативтік моноид құрайтын сақина (өйткені моноид көбейту бойынша жабық болуы керек). Интегралды домен – нөлден басқа коммутативтік сақина, онда кез келген нөлден басқа r элементі үшін сақинаның кез келген x элементін xr көбейтіндісіне бейнелейтін функция инъективті болады. Мұндай қасиетке ие r элементтері тұрақты элементтер деп аталады, сондықтан сақинаның кез келген нөлден басқа элементінің тұрақты болуын талап етуге тең. Интегралды домен – өрістің ішкі сақинасына изоморфты сақина. (Интегралды домен берілген жағдайда, оны өзінің бөлшектер өрісіне ендіруге болады.)
An integral domain is a nonzero commutative ring with no nonzero zero divisors. An integral domain is a commutative ring in which the zero ideal {0} is a prime ideal. An integral domain is a nonzero commutative ring for which every nonzero element is cancellable under multiplication. An integral domain is a ring for which the set of nonzero elements is a commutative monoid under multiplication (because a monoid must be closed under multiplication). An integral domain is a nonzero commutative ring in which for every nonzero element r, the function that maps each element x of the ring to the product xr is injective. Elements r with this property are called regular, so it is equivalent to require that every nonzero element of the ring be regular. An integral domain is a ring that is isomorphic to a subring of a field. (Given an integral domain, one can embed it in its field of fractions.)
Мысалдар
Архетипі – барлық бүтін сандардың сақинасы. Кез келген өріс – интегралды домен. Мысалы, барлық нақты сандардың өрісі – интегралды домен. Керісінше, кез келген Артиниялық интегралды домен – өріс. Атап айтқанда, барлық шекті интегралды домендер – шекті өрістер (жалпы алғанда, Веддерберннің кіші теоремасы бойынша, шекті домендер – шекті өрістер). Бүтін сандардың сақинасы – Артиниялық емес, шексіз интегралды доменнің мысалы, ол өріс емес және идеалдардың шексіз төмендеу тізбектеріне ие, мысалы:
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
Көпмүшелер сақиналары интегралды домендер болып табылады, егер коэффициенттер интегралды доменнен алынса. Мысалы, бүтін сан коэффициенттері бар бір айнымалыдағы барлық көпмүшелер сақинасы – интегралды домен; сондай-ақ, n айнымалыдағы барлық көпмүшелер сақинасы күрделі коэффициенттері бар. Бұрынғы мысалды негізгі идеалдардан бөлу арқылы одан әрі пайдалануға болады. Мысалы, жазықтықтағы эллиптік қисыққа сәйкес келетін сақина – интегралды домен. Интегралдық екенін тексеру үшін оны толықтырылмайтын көпмүше екенін көрсету жеткілікті. Сақина кез келген квадрат емес бүтін сан үшін интегралды домен болып табылады. Егер , онда бұл сақина әрқашан сақинаның ішкі сақинасы болады, әйтпесе, ол сақинаның ішкі сақинасы болады.
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
p-адық бүтін сандардың сақинасы – интегралды домен. Интегралды доменнің формалды қуат қатарларының сақинасы – интегралды домен. Егер – комплекс жазықтықтың байланысты ашық ішкі жиыны болса, онда барлық голоморфтық функциялардан тұратын сақина – интегралды домен. Аналитикалық манилалықтардың байланысты ашық ішкі жиындарындағы аналитикалық функциялар сақиналары үшін де солай. Тұрақты жергілікті сақина – интегралды домен. Шындығында, тұрақты жергілікті сақина – UFD.
Rings of polynomials are integral domains if the coefficients come from an integral domain. For instance, the ring of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring of all polynomials in n variables with complex coefficients. The previous example can be further exploited by taking quotients from prime ideals. For example, the ring corresponding to a plane elliptic curve is an integral domain. Integrality can be checked by showing is an irreducible polynomial. The ring is an integral domain for any non square integer If , then this ring is always a subring of , otherwise, it is a subring of
The ring of p adic integers is an integral domain. The ring of formal power series of an integral domain is an integral domain. If is a connected open subset of the complex plane , then the ring consisting of all holomorphic functions is an integral domain. The same is true for rings of analytic functions on connected open subsets of analytic manifolds. A regular local ring is an integral domain. In fact, a regular local ring is a UFD.
Үлгі емес
Келесі сақиналар интегралды домендер емес. Нөлдік сақина (сақина, онда ). m құрама сан болғандағы, үлестік сақина . Шындығында, дұрыс факторлауды таңдаңыз (яғни, және екеуі де тең емес). Содан кейін және , бірақ екі нөлдік емес коммутативті сақинаның көбейтіндісі. Мұндай көбейтіндіде, кез келген үшін, коэффициенттік сақина бар. және бейнелері нөлден өзгеше, ал олардың көбейтіндісі осы сақинада 0-ге тең. Кез келген нөлдік емес сақинадағы n × n матрицалардың сақинасы, егер n ≥ 2 болса. Егер және матрицалар болса, онда бейнесі ядросына кірсе, онда . Мысалы, бұл үшін орын алады. Кез келген дала және тұрақты емес полиномдар үшін, үлестік сақина . Осы үлестік сақинадағы f және g бейнелері нөлдік емес элементтер, олардың көбейтіндісі 0-ге тең. Бұл аргумент, эквивалентті түрде, идеал бірінші емес екенін көрсетеді. Бұл нәтиженің геометриялық түсіндірмесі – fg нөлдері жалпы жағдайда ирредукцияланбайтын (яғни, алгебралық сан түрі емес) аффиндік алгебралық жиынды құрайды. Бұл алгебралық жиын ирредукцияланған болуы мүмкін жалғыз жағдай – fg ирредукцияланбайтын полиномның дәрежесі болса, ол сол алгебралық жиынды анықтайды. Бірлік аралығындағы үздіксіз функциялар сақинасы. Функцияларды қарастырайық. Тензорлық көбейтінді. Бұл сақинада екі тривиальды емес идемпотент бар, және олар ортогоналды, яғни , сондықтан домен емес. Шындығында, анықталған изоморфизм бар: Оның керісі анықталады: Бұл мысал, ирредукцияланбайтын аффиндік схемалардың талшықты көбейтіндісінің ирредукцияланбауы қажет емес екенін көрсетеді.
Neither nor is everywhere zero, but is. The tensor product This ring has two non trivial idempotents, and They are orthogonal, meaning that , and hence is not a domain. In fact, there is an isomorphism defined by Its inverse is defined by This example shows that a fiber product of irreducible affine schemes need not be irreducible.
Бөлу, жай элементтер және азайтылмайтын элементтер
Бұл бөлімде R – интегралды домен. R-дың a және b элементтері берілгенде, егер R-да x элементі болса, онда 1 = ax = b теңдігі орындалса, a, b-ны бөледі немесе a, b-ның бөлгіші, ал b, a-ның еселігі деп айтылады. R-дың бірліктері – 1-ді бөлетін элементтер; бұл R-дағы кері элементтердің өзі. Бірліктер барлық басқа элементтерді бөледі. Егер a, b-ны және b, a-ны бөлсе, онда a және b – байланысты элементтер немесе серіктес элементтер болып табылады. Кемелденбейтін элемент – нөлдік емес және бірлік емес, оны екі нөлдік емес элементтің көбейтіндісі түрінде жазуға болмайтын элемент. Нөлдік емес және бірлік емес p, егер p, ab көбейтіндісін бөлсе, онда p, a-ны немесе p, b-ны бөледі, онда ол жай элемент болып табылады. Кемелденбейтін және жай элементтер туралы ұғымдар, егер теріс жай сандарды жай деп санаса, сақинадағы жай сандардың қалыпты анықтамасын кеңейтеді. Кез келген жай элемент кемелденбейтін болады. Керісіне, жалпы жағдайда дұрыс емес: мысалы, квадраттық бүтін сандар сақинасында 3 саны кемелденбейтін (егер ол тривиалды емес түрде жіктелсе, онда оның әрбір факторының нормасы 3-ке тең болуы керек, бірақ нормасы 3-ке тең элементтер жоқ, себебі бүтін сандар шешімі жоқ), бірақ жай емес (өйткені 3, ешбір факторды бөлмей, оларды бөледі). Бірегей жіктеу доменінде (немесе жалпы алғанда, ЕББ доменінде) кемелденбейтін элемент – жай элемент. Бірегей жіктеу орын алмаса да, идеалдардың бірегей жіктелуі бар. Ласкер-Нотер теоремасын қараңыз.
Қасиеттері
Коммутативті R сақинасы, егер R-дың (0) идеалы жай идеал болса ғана интегралды домен болып табылады. Егер R коммутативті сақина болса және P, R-дағы идеал болса, онда R/P бөлу сақинасы интегралды домен болып табылады, егер және тек қана P жай идеал болса. R интегралды домен болсын. Онда R үстіндегі полиномдық сақиналар (кез келген саны белгісіздермен) интегралды домендер болып табылады. Бұл әсіресе R өріс болғанда дұрыс. Қысқарту қасиеті кез келген интегралды доменде орын алады: кез келген a, b және c интегралды доменде, егер a ≠ 0 және ab = ac = 1 болса, онда b = c = 1. Мұны былай да айтуға болады: x ↦ ax функциясы домендегі кез келген нөлдік емес a үшін инъективті. Қысқарту қасиеті интегралды домендегі идеалдар үшін де орын алады: егер xI = xJ = 1 болса, онда x нөлге тең немесе I = J = 1. Интегралды домен өзінің максималды идеалдардағы локализацияларының қиылысына тең. Интегралды домендердің индуктивтік лиміті – интегралды домен. Егер A және B алгебралық жабық k өрісіндегі интегралды домендер болса, онда A ⊗k B интегралды домен болып табылады. Бұл Хилберттың нөлдік теоремасының салдары болып табылады және алгебралық геометрияда алгебралық жабық өріс үстіндегі екі аффиндік алгебралық санның көбейтіндісінің координаттық сақинасы да қайтадан интегралды домен болып табылады дегенді білдіреді.
Қиындықтар өрісі
R интегралды доменінің K бөлшектер өрісі – a және b ∈ R және b ≠ 0 шарты орындалған бөлшектердің жиынтығы, қалыпты қосу және көбейту операцияларымен жабдықталған. Бұл, "R-ды қамтитын ең кіші өріс" деген мағынада, R → K инъективті сақина гомоморфизмі бар, сондай-ақ R-ден кез келген өріске инъективті сақина гомоморфизмі K арқылы өтеді. Бүтін сандар сақинасының бөлшектер өрісі – рационал сандар өрісі. Өрістің бөлшектер өрісі өзіне изоморфты.
Алгебралық геометрия
Интегралды домендер олардың қысқартылғандығы (яғни, 1=x² = 0 болса, 1=x = 0) және бөлгішсіздігі (яғни, тек бір минималды жай идеал бар) шарттарымен сипатталады. Алғашқы шарт сақинаның нилрадикалы нөлге тең екенін қамтамасыз етеді, сондықтан сақинаның барлық минималды жай сандарының қиылысы нөлге тең болады. Екінші шарт – сақинада тек бір ғана минималды жай сан болуы. Осыдан, қысқартылған және бөлгішсіз сақинаның бірегей ең кішкентай жай идеалы нөлдік идеал болып табылады, сондықтан мұндай сақиналар интегралды домендер болып табылады. Керісі де анық: интегралды доменде нөлден өзгеше нильпотент элементтер жоқ, ал нөлдік идеал – бірегей ең кішкентай жай идеал. Бұл алгебралық геометрияда мынадайға ауысады: аффиндік алгебралық жиынның координаталық сақинасы интегралды домен болып табылады, егер және тек қана егер алгебралық жиын алгебралық сан түрлі болса. Көбірек айтқанда, коммутативті сақина интегралды домен болып табылады, егер және тек қана егер оның спектрі интегралды аффиндік схема болса.
Қасиеттілік және гомоморфизмдер
Интегралды доменнің сипаттамасы 0 немесе жай сан болады. Егер R жай сипаттамасы p болатын интегралды домен болса, онда Фробен эндоморфизмі x → xᵖ инъективті болады.