Кіріспе
Алгебралық құрылым
Математикада, негізгі идеалдық домен немесе PID – әрбір идеал негізгі болатын интегралдық домен, яғни бір элементпен туындатылатын идеал. Көбірек жалпылаған түрде, негізгі идеалдық сақина – идеалдары негізгі болатын нөлден өзге коммутативті сақина, бірақ кейбір авторлар (мысалы, Бурбаки) PID-ді негізгі сақина деп атайды. Айырмашылық – негізгі идеалдық сақинада нөлдік бөлгіштер болуы мүмкін, ал негізгі идеалдық доменде болмайды. Негізгі идеалдық домендер – бөлінуге қатысты бүтін сандарға ұқсас математикалық объектілер: PID-дің кез келген элементінің жай элементтерге бірегей жіктелуі бар (осылайша арифметиканың негізгі теоремасының аналогы орындалады); PID-дің кез келген екі элементінің ең үлкен ортақ бөлгіші бар (оны Евклид алгоритмімен табу мүмкін болмаса да). Егер x және y ортақ бөлгіштері жоқ PID элементтері болса, онда PID-дің кез келген элементін ax + by түрінде жазуға болады. Негізгі идеалдық домендер – ноэтериандық, олар интегралды жабық, олар бірегей факторлау домендері және Дедекинд домендері. Барлық Евклид домендері мен барлық өрістер – негізгі идеалдық домендер. Негізгі идеалдық домендер келесі кластық кіріктірулер тізбегінде кездеседі:
In mathematics, a principal ideal domain, or PID, is an integral domain in which every ideal is principal, i. e., can be generated by a single element. More generally, a principal ideal ring is a nonzero commutative ring whose ideals are principal, although some authors (e. g., Bourbaki) refer to PIDs as principal rings. The distinction is that a principal ideal ring may have zero divisors whereas a principal ideal domain cannot. Principal ideal domains are thus mathematical objects that behave somewhat like the integers, with respect to divisibility: any element of a PID has a unique decomposition into prime elements (so an analogue of the fundamental theorem of arithmetic holds); any two elements of a PID have a greatest common divisor (although it may not be possible to find it using the Euclidean algorithm). If x and y are elements of a PID without common divisors, then every element of the PID can be written in the form ax + by. Principal ideal domains are Noetherian, they are integrally closed, they are unique factorization domains and Dedekind domains. All Euclidean domains and all fields are principal ideal domains. Principal ideal domains appear in the following chain of class inclusions:
Қасиеттері
Негізгі идеалдық доменде кез келген екі элемент a, b үшін ең үлкен ортақ бөлгіш болады, оны идеалдың (a, b) генераторы ретінде алуға болады. Барлық Евклид домендері – негізгі идеалдық домендер, бірақ керісінше дұрыс емес. Евклид домені емес, негізгі идеалдық доменнің мысалы – сақина , бұл Теодор Мотцкин дәлелдеген және алғашқы белгілі жағдай болды. Бұл доменде , сондықтан , дегенімен және ең үлкен ортақ бөлгіші 2-ге тең. Кез келген негізгі идеалдық домен – бірегей факторлау домені (UFD). Керісінше дұрыс емес, себебі кез келген UFD K үшін, 2 айнымалыдағы K[X, Y] полиномдар сақинасы UFD болып табылады, бірақ PID емес. (Бұл үшін идеалды қараңыз, ол бүкіл сақина емес, өйткені онда 0 дәрежелі полиномдар жоқ, бірақ оны бір элементпен генерациялау мүмкін емес.) Кез келген негізгі идеалдық домен – Ноэтериандық домен. Барлық бірлік сақиналарында максималды идеалдар – жай идеалдар. Негізгі идеалдық домендерде шамалы керісінше дұрыс: кез келген нөлдік емес жай идеал – максималды. Барлық негізгі идеалдық домендер интегралды жабық. Жоғарыдағы үш қағида Дедекинд доменінің анықтамасын береді, сондықтан кез келген негізгі идеалдық домен – Дедекинд домені. А интегралдық домен болсын. Онда келесі шарттар эквивалентті: А – PID. А-ның кез келген жай идеалы – негізгі идеал. А – UFD болатын Дедекинд домені. А-ның кез келген шекті жасалған идеалы – негізгі (яғни, А – Безу домені) және А негізгі идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандырады. А Дедекинд-Хассе нормасын қабылдайды. Кез келген Евклид нормасы – Дедекинд-Хассе нормасы; осылайша, (5) Евклид доменінің PID екенін көрсетеді. (4) мынамен салыстыруға болады: Интегралдық домен, егер және тек қана егер ол GCD домені болса (яғни, кез келген екі элементінің ең үлкен ортақ бөлгіші бар домен) және негізгі идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандырса, онда ол UFD болады. Интегралдық домен Безу домені болып табылады, егер және тек қана егер оның кез келген екі элементінің GCD-сы осы екі элементтің сызықтық комбинациясы болса. Осылайша, Безу домені – GCD домені, ал (4) PID-дің UFD екендігінің тағы бір дәлелін береді.
An integral domain is a UFD if and only if it is a GCD domain (i. e., a domain where every two elements have a greatest common divisor) satisfying the ascending chain condition on principal ideals. An integral domain is a Bézout domain if and only if any two elements in it have a gcd that is a linear combination of the two. A Bézout domain is thus a GCD domain, and (4) gives yet another proof that a PID is a UFD.