Кіріспе

Сақинаның, сақинаның өзінен басқа идеалға кірмейтін идеалы. Математикада, әсіресе сақина теориясында, максималды идеал – барлық дұрыс идеалдардың арасында максималды (жинақтардың кіріктірілуіне қатысты) идеал. Яғни, I сақинасы R-дың максималды идеалы болады, егер I мен R арасында басқа идеалдар болмаса.

Максималды идеалдар маңызды, себебі максималды идеалдар бойынша сақиналардың бөлінділері қарапайым сақиналар болып табылады, ал бірліктері бар коммутативті сақиналардың ерекше жағдайында олар өрістер де болады. Коммутативті емес сақина теориясында, оң жақтың максималды идеалы оң жақтың дұрыс идеалдарының жиынындағы максималды элемент ретінде анықталады, сондай-ақ сол жақтың максималды идеалы сол жақтың дұрыс идеалдарының жиынындағы максималды элемент ретінде анықталады. Бір жақтың максималды идеалы A міндетті түрде екі жақты емес болғандықтан, R/A бөліндісі міндетті түрде сақина болып табылмайды, бірақ ол R-дің қарапайым модулі болып табылады. Егер R-де бірегей максималды оң идеал болса, онда R жергілікті сақина деп аталады, ал максималды оң идеал сонымен қатар сақинаның бірегей максималды сол және бірегей максималды екі жақты идеалы болып табылады, және шын мәнінде, Джейкобсон радикалы J(R) болып табылады. Сақинада бірегей максималды екі жақты идеал болуы мүмкін, бірақ бірегей максималды бір жақты идеалдары болмауы да мүмкін: мысалы, өріс үстіндегі 2x2 шаршы матрицалар сақинасында, нөлдік идеал – максималды екі жақты идеал, бірақ көптеген максималды оң идеалдар бар.

Анықтама

Максималды бір жақты және максималды екі жақты идеалдардың анықтамасын берудің басқа да эквивалентті тәсілдері бар. R сақинасы және R-дің I дұрыс идеалдары (яғни I ≠ R) берілгенде, I, егер келесі эквивалентті шарттардың кез келгені орындалса, R-дің максималды идеалы болып табылады: R-дің басқа дұрыс идеалдары J болмайды, онда I ⊂ J. Кез келген идеал J үшін, егер I ⊆ J болса, онда J = I немесе J = R. R/I бөлу сақинасы қарапайым сақина болады. Бір жақты идеалдар үшін де ұқсас тізім бар, онда тек оң жақты нұсқалар келтіріледі. R сақинасының оң жақ идеалы A үшін келесі шарттар A-ның R-дің максималды оң жақ идеалы болуымен эквивалентті: R-дің басқа дұрыс оң жақ идеалы B болмайды, онда A ⊂ B. Кез келген оң жақ идеал B үшін, егер A ⊆ B болса, онда B = A немесе B = R. R/A бөлу модулі – қарапайым оң жақ R модулі. Максималды оң, сол және екі жақты идеалдар – минималды идеалдарға қатысты дуал ұғымдар.

Мысалдар

Егер F өріс болса, онда жалғыз максималдық идеал {0} болады. Z бүтін сандар сақинасында максималдық идеалдар – жай санмен туындайтын негізгі идеалдар. Көбінесе, нөлден өзге барлық жай идеалдар негізгі идеалдар доменінде максималды болып табылады. Идеал – сақинадағы максималды идеал. Жалпы, максималдық идеалдар – түріндегі идеалдар, мұндағы p – жай сан, ал f(x) – p модулі бойынша толық емес көпмүше. Кез келген жай идеал – Буль сақинасында максималды идеал, яғни тек өзіне тең элементтерден тұратын сақина. Шындығында, егер кез келген n үшін n^k = n болатын бүтін сан k болса, коммутативті сақинада кез келген жай идеал максималды болады. Көпмүше сақинасының максималдық идеалдары – кейбір a үшін a-мен туындайтын негізгі идеалдар. Көбінесе, алгебралық жабық өріс K-дегі K[x1, ..., xn] көпмүше сақинасының максималдық идеалдары (x1 – a1, ..., xn – an) түріндегі идеалдар болып табылады. Бұл нәтиже әлсіз Nullstellensatz деп аталады.

Қасиеттері

Жакобсон радикалы деп аталатын сақинаның маңызды идеалын оң жақ (немесе сол жақ) идеалдарды пайдалану арқылы анықтауға болады. Егер R - идеал m бар бірлік коммутативтік сақина болса, онда k = R/m егер және тек қана m - максималды идеал болса, өріс болады. Бұл жағдайда R/m қалдық өрісі деп аталады. Бұл факт бірліксіз сақиналарда орындалмауы мүмкін. Мысалы, - бұл максималды идеал, бірақ ол өріс емес. Егер L - сол жақ ең үлкен идеал болса, онда R/L - қарапайым сол R модулі. Керісінше, бірлікпен жабдықталған сақиналарда, кез келген қарапайым сол R модулі осылай туындайды. Бұл, сол R модулінің өкілдерінің жиынтығы шын мәнінде жиын екенін көрсетеді, өйткені оны R-дің максималды сол идеалдары жиынтығының бөлігімен сәйкестендіруге болады. Крулл теоремасы (1929): Әрбір нөлден өзге бірлік сақинаның максималды идеалы бар. Нәтиже, егер "идеал" сөзі "оң идеал" немесе "сол идеал" сөзімен ауыстырылса да, дұрыс болады. Көбірек айтқанда, нөлден өзге кез келген шекті түрде жасалған модульдің максималды субмодулі болады. I идеалдың R-ге тең емес екенін (сәйкесінше, A оң идеалдың R-ге тең емес екенін) болжайық. Содан кейін R/I - бірлікпен сақина (сәйкесінше, R/A - шекті түрде жасалған модуль) болады, сондықтан жоғарыдағы теоремаларды қолданып, R/I (сәйкесінше, R/A) құрамында I (сәйкесінше, A) кіретін R-дің максималды идеалының (сәйкесінше, максималды оң идеалының) бар екендігіне келуге болады. Крулл теоремасы бірліксіз сақиналар үшін орындалмауы мүмкін. Радикалды сақина, яғни Якобсон радикалы бүкіл сақинаны құрайтын сақина, қарапайым модульдерге ие емес, сондықтан оң және сол максималды идеалдар жоқ. Бұл мәселенің шешімі үшін тұрақты идеалдарды қарастырыңыз. Бірлікпен коммутативтік сақинада, әрбір максималды идеал - жай идеал. Керісі шарт әрқашан да дұрыс емес: мысалы, кез келген өріс емес бүтін доменде нөлдік идеал - максималды емес жай идеал. Жай идеалдар максималды болатын коммутативтік сақиналар нөлдік өлшемді сақиналар деп аталады, мұнда қолданылатын өлшем Крулл өлшемі болып табылады. Коммутативтік емес сақинаның максималды идеалы коммутативтік мағынада жай болуы міндетті емес. Мысалы, барлық матрицалардың сақинасын қарастырайық. Бұл сақинаның кез келген жай сан үшін максималды идеалы бар, бірақ бұл жай идеал емес, өйткені (мысалы, болғанда) және сақинаға жатпайды, бірақ жатады. Алайда, коммутативтік емес сақиналардың максималды идеалдары төмендегі жалпыланған мағынада жай болады.

Жалпылау

R модулі A үшін, A-ның максималды M субмодулі – M ≠ A шартын қанағаттандыратын және кез келген басқа N субмодулі үшін, егер M ⊆ N ⊆ A болса, онда 1=N=M немесе 1=N=A болады. Басқаша айтқанда, M максималды субмодуль болып табылады, егер және тек қана A/M квотиент модулі қарапайым модуль болса. Сақинаның оң жақ максималды идеалдары – RR модулінің максималды субмодульдерімен сәйкес келеді. Бірлік сақиналарынан айырмашылығы, нөлдік емес модульде міндетті түрде максималды субмодульдер бола бермейді. Дегенмен, жоғарыда айтылғандай, шекті түрде жасалған нөлдік емес модульдерде максималды субмодульдер болады, сондай-ақ проективті модульдерде де максималды субмодульдер болады. Сақиналардағыдай, максималды субмодульдерді қолданып модульдің радикалын анықтауға болады. Сонымен қатар, максималды идеалдарды бимодульдің максималды суббимодулін M – бимодуль B-нің басқа ешқандай суббимодуліне кірмейтін M-нің бөгде суббимодулі деп анықтау арқылы жалпылауға болады. R сақинасының максималды идеалдары – RRR бимодулінің максималды суббимодульдерімен сәйкес келеді.