Сақина теориясындағы идеалдар және олардың қасиеттері

Кіріспе

Математикалық сақинаның көбейтуді сіңіретін қосқыш кіші тобы. Математикада, әсіресе сақина теориясында, сақинаның идеалы – оның элементтерінің ерекше кіші жиынтығы. Идеалдар бүтін сандардың кейбір кіші жиындарын, мысалы, жұп сандарды немесе 3-тің еселігін жалпылайды. Жұп сандарды қосу және алу жұптықты сақтайды, ал кез келген бүтін санға (жұп немесе тақ) жұп санды көбейту жұп сан береді; бұл жабылу және сіңіру қасиеттері идеалды анықтайтын қасиеттер болып табылады. Идеалды үлестік сақина құру үшін қолдануға болады, бұл топ теориясындағы нормаль кіші топты үлестік топ құру үшін қолдануға ұқсас. Бүтін сандар арасындағы идеалдар теріс емес бүтін сандармен сәйкес келеді: бұл сақинада әрбір идеал – теріс емес санның еселігінен тұратын негізгі идеал. Дегенмен, басқа сақиналарда идеалдар сақина элементтерімен тікелей сәйкес келмеуі мүмкін, және бүтін сандардың кейбір қасиеттері сақиналарға жалпыланғанда сақина элементтеріне қарағанда идеалдарға табиғирақ жатады. Мысалы, сақинаның жай идеалдары жай сандарға ұқсас, ал қытайлық қалдық теоремасы идеалдарға жалпылана алады. Дедекинд доменінің идеалдары үшін бірегей жай көбейткіштерге жіктеудің нұсқасы бар (сандар теориясында маңызды сақина түрі). Рет теориясындағы идеал ұғымы сақина теориясындағы идеал ұғымынан туындайды. Бөлшек идеал – идеалдың жалпылануы, ал қалыпты идеалдар кейде түсініктілік үшін интегралды идеалдар деп аталады.

Тарих

Эрнст Кумер бірегей жіктелудің орындалмауына себеп болатын сан сақиналарындағы "жетіспейтін" көбейткіштер ретінде қызмет ету үшін идеалдық сандар тұжырымдамасын ойлап тапты; мұнда "идеал" сөзі тек қиял жемісі ретінде, геометриядағы шексіз нүктелер сияқты "идеалдық" нысандарға ұқсас мағынада қолданылады. 1876 жылы Ричард Дедекинд Дирихлеттің "Vorlesungen über Zahlentheorie" кітабының үшінші басылымында Кумердің анықталмаған тұжырымдамасын нақты сандар жиындарымен алмастырды, оларды идеалдар деп атады, және Дедекинд оған көптеген қосымшалар енгізді. Кейіннен Дэвид Гилберт және әсіресе Эмма Нотер бұл түсінікті сан сақиналарынан асып, полиномдық сақиналар және басқа коммутативтік сақиналарға дейін кеңейтті.

Мысалдар мен қасиеттері

(Қысқалық үшін кейбір нәтижелер тек сол жақ идеалдар үшін ғана айтылады, бірақ әдетте оң жақ идеалдар үшін де дұрыс, тиісті белгілеулер енгізу арқылы.) R сақинасында R жиыны R-дың екі жақты идеалын құрайды, ол бірлік идеалы деп аталады. Ол көбінесе 1= 1R бірлігімен (төменде қараңыз) туындаған екі жақты идеал болғандықтан, сонымен қатар 0R қосымша сәйкестігінен тұратын жиын екі жақты идеалды құрайды, ол нөлдік идеал деп аталады және 1= (0) арқылы белгіленеді. Кез келген (сол, оң немесе екі жақты) идеал нөлдік идеалды қамтиды және бірлік идеалда қамтылады. Бірлік идеал емес (сол, оң немесе екі жақты) идеал дұрыс идеал деп аталады (өйткені ол дұрыс ішкі жиын). Ескерту: сол жақ идеал дұрыс болады, егер ол бірлік элементті қамтымаса, өйткені егер ол бірлік элементті қамтыса, онда ол R-дың кез келген 1= r үшін қамтиды. Әдетте дұрыс идеалдар көп. Шын мәнінде, егер R қисық өріс болса, онда оның жалғыз идеалдары болады және керісінше: яғни, нөлдік емес сақина R қисық өріс болады, егер оның жалғыз сол (немесе оң) идеалдары болса. (Дәлел: егер нөлдік емес элемент болса, онда сол жақ идеал нөлдік емес және осылайша ; яғни, кейбір нөлдік емес үшін .) Бүтін сандар сақинасында жұп сандар идеалды құрайды, өйткені кез келген екі жұп санның қосындысы жұп, ал жұп санды кез келген бүтін санмен көбейту де жұп болады; бұл идеал көбінесе 1= 2\mathbb{Z} деп белгіленеді. Жалпы алғанда, тұрақты бүтін санға бөлінетін барлық бүтін сандар жиыны 1= n\mathbb{Z} деп белгіленеді. Шын мәнінде, сақинаның кез келген нөлдік емес идеалы оның ең кіші оң элементімен туындайды, Евклидтік бөлудің салдарынан, ол негізгі идеалдық домен болып табылады. Нақты коэффициенттері бар барлық көпмүшелер жиыны, көпмүшеге бөлінетін 1= \mathbb{R}[x] нақты коэффициенттері бар барлық көпмүшелер сақинасындағы идеал болып табылады. Сақинаны және оң бүтін санды алыңыз 1= n. Әр 1= 1\leq i\leq n үшін, th қатары нөлге тең барлық матрицалар жиыны 1= R-дегі барлық матрицалар сақинасындағы оң идеал болып табылады. Бұл сол идеал емес. Сол сияқты, әр 1= 1\leq j\leq n үшін, th бағаны нөлге тең барлық матрицалар жиыны сол жақ идеал болып табылады, бірақ оң жақ идеал емес. -дан үшін барлық үздіксіз функциялар сақинасы 1= f(1)=0 сияқты барлық үздіксіз функциялар идеалын қамтиды. Тағы бір идеал жеткілікті үлкен аргументтер үшін жоғалатын функциялармен беріледі, яғни, 1= \vert x \vert > L болғанда барлық үздіксіз функциялар үшін бар сан бар. Сақина нөлдік емес және 1= (0)-дан басқа екі жақты идеалдары болмаса, қарапайым сақина деп аталады. Осылайша, қисық өріс қарапайым, ал қарапайым коммутативтік сақина өріс болып табылады. Қисық өріс үстіндегі матрицалық сақина қарапайым сақина. Егер сақина гомоморфизмі болса, онда ядро 1= R екі жақты идеал болып табылады. Анықтама бойынша, 1= f(R) = S, және егер нөлдік сақина болмаса (осылайша 1= 1S\ne0S), онда ол дұрыс идеал болып табылады. Жалпы алғанда, S-тің әрбір сол жақ идеалы I үшін пре-бейне сол жақ идеал болып табылады. Егер I R-дың сол жақ идеалы болса, онда S-тің субсақинасының сол жақ идеалы: егер f сюръективті болмаса, S-тің идеалы болуы қажет емес; сондай-ақ # төмендегі идеалдың кеңейтуі мен жиырылуына қараңыз. Идеалдық сәйкестік: Сюръективті сақина гомоморфизмі 1= f: R \to S берілген жағдайда, ядроны қамтитын идеалдар мен идеалдар арасында биективті тәртіп сақтайтын сәйкестік бар: сәйкестік беріледі және пре-бейне 1= J \mapsto f^{-1}(J). Сонымен қатар, коммутативті сақиналар үшін бұл биективті сәйкестік бірінші идеалдарға, максималдық идеалдарға және радикалдық идеалдарға шектеледі (осы идеалдардың анықтамалары үшін идеалдардың түрлері бөлімін қараңыз). (Модульдерді білетіндер үшін) Егер M сол R модулі және S кіші жиын болса, онда S-тің анигиляторы сол идеал болып табылады. Коммутативті сақина R идеалдарын ескере отырып, R-дің аннигиляторы R-дің идеалы болып табылады, ол -ның идеалдық үлесі деп аталады және 1= (\mathfrak{a} : \mathfrak{b}) деп белгіленеді; бұл коммутативтік алгебрадағы идеализатордың бір түрі. R сақинасындағы сол жақ идеалдардың өсу тізбегі болсын; яғни, толық реттелген жиын және әр 1= i < j үшін, содан кейін одақ R-дың сол жақ идеалы болып табылады. (Ескерту: бұл факт R-дың бірлігі 1 болмаса да, дұрыс болып қалады.) Жоғарыда келтірілген факт Зорн леммасымен бірге мынаны дәлелдейді: егер E ықтимал бос кіші жиын болса және E-ден бөлінген сол жақ идеал болса, онда E-ні қамтитын және E-ден бөлінген идеалдардың арасында ең үлкен идеал бар. (Егер R сақинасында 1 бірлігі болмаса, бұл әлі де жарамды.) , ал 1= E = \{1\}, атап айтқанда, сол жақ идеалдар арасында максималдық сол жақ идеал бар (көбінесе тек максималдық сол жақ идеал деп аталады); көбірек ақпарат алу үшін Krull теоремасына қараңыз. Идеалдардың кез келген біріктірілісі идеал болуы міндетті емес, бірақ мынасы әлі де дұрыс: R-дың кез келген кіші жиыны X үшін, X-ті қамтитын ең кішкентай сол жақ идеал бар, ол X бойынша туындаған сол жақ идеал деп аталады және 1= RX деп белгіленеді. Мұндай идеал бар, өйткені ол X-ті қамтитын барлық сол жақ идеалдардың қиылысы болып табылады. Балама түрінде, R-тасымен X элементтерінің соңғы сол R сызықтық комбинацияларының жиыны болып табылады:

(For the sake of brevity, some results are stated only for left ideals but are usually also true for right ideals with appropriate notation changes.) In a ring R, the set R itself forms a two sided ideal of R called the unit ideal. It is often also denoted by since it is precisely the two sided ideal generated (see below) by the unity 1= 1 R Also, the set consisting of only the additive identity 0R forms a two sided ideal called the zero ideal and is denoted by 1= (0) Every (left, right or two sided) ideal contains the zero ideal and is contained in the unit ideal. An (left, right or two sided) ideal that is not the unit ideal is called a proper ideal (as it is a proper subset). Note: a left ideal is proper if and only if it does not contain a unit element, since if is a unit element, then for every 1= r \in R Typically there are plenty of proper ideals. In fact, if R is a skew field, then are its only ideals and conversely: that is, a nonzero ring R is a skew field if are the only left (or right) ideals. (Proof: if is a nonzero element, then the principal left ideal (see below) is nonzero and thus ; i. e., for some nonzero 1= y Likewise, for some nonzero Then .) The even integers form an ideal in the ring of all integers, since the sum of any two even integers is even, and the product of any integer with an even integer is also even; this ideal is usually denoted by 1= 2\mathbb{Z} More generally, the set of all integers divisible by a fixed integer is an ideal denoted 1= n\mathbb{Z} In fact, every non zero ideal of the ring is generated by its smallest positive element, as a consequence of Euclidean division, so is a principal ideal domain. The set of all polynomials with real coefficients that are divisible by the polynomial is an ideal in the ring of all real coefficient polynomials 1= \mathbb{R}[x] Take a ring and positive integer 1= n For each 1= 1\leq i\leq n , the set of all matrices with entries in whose th row is zero is a right ideal in the ring of all matrices with entries in 1= R It is not a left ideal. Similarly, for each 1= 1\leq j\leq n , the set of all matrices whose th column is zero is a left ideal but not a right ideal. The ring of all continuous functions from to under pointwise multiplication contains the ideal of all continuous functions such that 1= f(1)=0 Another ideal in is given by those functions that vanish for large enough arguments, i. e. those continuous functions for which there exists a number such that whenever 1= \vert x \vert >L A ring is called a simple ring if it is nonzero and has no two sided ideals other than 1= (0), (1) Thus, a skew field is simple and a simple commutative ring is a field. The matrix ring over a skew field is a simple ring. If is a ring homomorphism, then the kernel is a two sided ideal of 1= R By definition, 1= f(1 R) = 1 S , and thus if is not the zero ring (so 1= 1 S\ne0 S ), then is a proper ideal. More generally, for each left ideal I of S, the pre image is a left ideal. If I is a left ideal of R, then is a left ideal of the subring of S: unless f is surjective, need not be an ideal of S; see also #Extension and contraction of an ideal below. Ideal correspondence: Given a surjective ring homomorphism 1= f: R \to S , there is a bijective order preserving correspondence between the left (resp. right, two sided) ideals of containing the kernel of and the left (resp. right, two sided) ideals of : the correspondence is given by and the pre image 1= J \mapsto f^{ 1}(J) Moreover, for commutative rings, this bijective correspondence restricts to prime ideals, maximal ideals, and radical ideals (see the Types of ideals section for the definitions of these ideals). (For those who know modules) If M is a left R module and a subset, then the annihilator of S is a left ideal. Given ideals of a commutative ring R, the R annihilator of is an ideal of R called the ideal quotient of by and is denoted by 1= (\mathfrak{a} : \mathfrak{b}) ; it is an instance of idealizer in commutative algebra. Let be an ascending chain of left ideals in a ring R; i. e., is a totally ordered set and for each 1= i < j Then the union is a left ideal of R. (Note: this fact remains true even if R is without the unity 1.) The above fact together with Zorn's lemma proves the following: if is a possibly empty subset and is a left ideal that is disjoint from E, then there is an ideal that is maximal among the ideals containing and disjoint from E. (Again this is still valid if the ring R lacks the unity 1.) When , taking and 1= E = \{ 1 \} , in particular, there exists a left ideal that is maximal among proper left ideals (often simply called a maximal left ideal); see Krull's theorem for more. An arbitrary union of ideals need not be an ideal, but the following is still true: given a possibly empty subset X of R, there is the smallest left ideal containing X, called the left ideal generated by X and is denoted by 1= RX Such an ideal exists since it is the intersection of all left ideals containing X. Equivalently, is the set of all the (finite) left R linear combinations of elements of X over R:

(мұндай кеңістік X-ті қамтитын ең кішкентай сол жақ идеал болып табылады.) X бойынша туындаған оң (немесе екі жақты) идеал ұқсас жолмен анықталады. «Екі жақты» үшін екі жақтан да сызықтық комбинацияларды пайдалану керек; яғни,

Бір элемент x бойынша туындаған сол (немесе оң, екі жақты) идеал сол (немесе оң, екі жақты) идеал деп аталады және (немесе 1= xR, RxR) деп белгіленеді. Екі жақты негізгі идеал көбінесе 1= (x) деп белгіленеді. соңғы жиын болса, онда оны 1= (x1, …, xn) деп жазуға болады. Идеалдар мен сақинадағы конгруенциялық қатынастар (сақина құрылымын сақтайтын эквиваленттілік қатынастар) арасында биективті сәйкестік бар: R сақинасының идеалды болсын, егер 1= x y\in I болса, онда R-дағы конгруенциялық қатынас. Керісінше, R-дағы конгруенциялық қатынас берілген болса, 1= I=\{x\in R:x\sim 0\} R-дың идеалы.

Идеалдардың түрлері

Сипаттаманы жеңілдету үшін барлық сақиналар коммутативті деп есептеледі. Коммутациялық емес жағдай тиісті мақалаларда егжей-тегжейлі қарастырылады. Идеалдар маңызды, өйткені олар сақиналы гомоморфизмдердің ядролары ретінде пайда болады және факторлы сақиналарды анықтауға мүмкіндік береді. Идеалдардың әртүрлі түрлері зерттеледі, өйткені оларды әртүрлі факторлық сақиналарды құру үшін қолдануға болады. Максималды идеал: Егер I - J-дің дұрыс ішкі жиыны болатын басқа идеал J болмаса, онда I - максималды идеал деп аталады. Максималды идеалдың факторлық сақинасы жалпы қарапайым сақина болып табылады және коммутативті сақиналар үшін өріс болып табылады. Минималды идеал: Егер нөлден басқа идеал болмаса, онда ол минималды деп аталады. Басты идеал: Бір элементпен туындаған идеал. Соңғыда туындаған идеал: Бұл идеалдың түрі модуль ретінде соңғыда туындайды. Бастапқы идеал: Егер R-дегі кез келген a және b үшін, егер ab I-де болса, онда кем дегенде a және bn-нің біреуі I-де қандай да бір n табиғи саны үшін болады, онда I бастапқы идеал деп аталады. Кез келген бастапқы идеал басты, бірақ керісінше емес. Бастапқы идеалдың жартылай саны - басты идеал. Радикалды идеал немесе жартылай басты идеал: Егер R-дегі кез келген a үшін, егер a-ның қандай да бір n дәрежесі I-де болса, онда a I-де болады, онда I радикалды немесе жартылай басты идеал деп аталады. Радикалды идеалдың факторлық сақинасы жалпы сақиналар үшін жартылай басты сақина болып табылады, ал коммутативті сақиналар үшін қысқартылған сақина болып табылады. Негізгі идеал: Бір элементпен құрылған идеал. Примитивті идеал: Сол жақты примитивті идеал - қарапайым сол модульдің жойғышы. Кемелсіз идеал: Егер идеалды дұрыс қамтитын идеалдардың қиылысы ретінде жазу мүмкін болмаса, онда ол кемелсіз деп айтылады. Комаксималды идеалдар: Егер I және J екі идеал болса, онда олар комаксималды деп аталады, егер 1 = xy, мұнда x ∈ I және y ∈ J. Ерегізгіш идеал: Бұл термин көп мағыналы. Толық тізім үшін мақаланы қараңыз. Нильдік идеал: Идеал, егер оның әрбір элементі нильпотентті болса. Нильпотентті идеал: Оның кейбір дәрежесі нөлге тең. Параметрлік идеал: параметрлер жүйесімен туындаған идеал. Ідеалдық идеал: Нотерлік сақинадағы I идеал, егер оның дәрежесі байланысты коэффициент сақинаның проективтік өлшеміне тең болса, яғни grade(I) = proj.dim(R/I). Ідеалдық идеал араласқан емес. Араласқан емес идеал: Нотерлік сақинадағы I идеал, егер I-нің биіктігі R/I-дің барлық байланысты жай сан P-нің биіктігіне тең болса, араласқан емес идеал (биіктікте) деп аталады. (Бұл R/I тең өлшемді деп айтудан күштірек. Тең өлшемді сақинаны да қараңыз.) "Идеал" сөзін қолданатын тағы екі маңызды термин әрқашан өздерінің сақинасының идеалдары емес. Толық мақалаларды қараңыз: Бөлшектік идеал: Бұл әдетте R коммутативті домен және K - оның бөліктерінің өрісі болған кезде анықталады. Атауына қарамастан, бөлшектік идеалдар - бұл K-ның R-модульдері, ерекше қасиеттері бар. Егер бөлшектік идеал толығымен R-де жатса, онда ол R-дің нағыз идеалдарының бірі болып табылады. Керілендірілгіш идеал: Керілендірілгіш идеал A әдетте 1 = AB = BA = R болатын басқа бөлшектік идеал B бар бөлшектік идеал ретінде анықталады. Кейбір авторлар "керілендірілгіш идеал" терминін домендерден басқа сақиналарда 1 = AB = BA = R болатын қарапайым сақина идеалдары A және B-ға да қолдануы мүмкін.

To simplify the description all rings are assumed to be commutative. The non commutative case is discussed in detail in the respective articles. Ideals are important because they appear as kernels of ring homomorphisms and allow one to define factor rings. Different types of ideals are studied because they can be used to construct different types of factor rings. Maximal ideal: A proper ideal I is called a maximal ideal if there exists no other proper ideal J with I a proper subset of J. The factor ring of a maximal ideal is a simple ring in general and is a field for commutative rings. Minimal ideal: A nonzero ideal is called minimal if it contains no other nonzero ideal. Prime ideal: A proper ideal is called a prime ideal if for any and in 1= R , if is in 1= I , then at least one of and is in 1= I The factor ring of a prime ideal is a prime ring in general and is an integral domain for commutative rings. Radical ideal or semiprime ideal: A proper ideal I is called radical or semiprime if for any a in R, if an is in I for some n, then a is in I. The factor ring of a radical ideal is a semiprime ring for general rings, and is a reduced ring for commutative rings. Primary ideal: An ideal I is called a primary ideal if for all a and b in R, if ab is in I, then at least one of a and bn is in I for some natural number n. Every prime ideal is primary, but not conversely. A semiprime primary ideal is prime. Principal ideal: An ideal generated by one element. Finitely generated ideal: This type of ideal is finitely generated as a module. Primitive ideal: A left primitive ideal is the annihilator of a simple left module. Irreducible ideal: An ideal is said to be irreducible if it cannot be written as an intersection of ideals that properly contain it. Comaximal ideals: Two ideals I, J are said to be comaximal if for some and 1= y \in J Regular ideal: This term has multiple uses. See the article for a list. Nil ideal: An ideal is a nil ideal if each of its elements is nilpotent. Nilpotent ideal: Some power of it is zero. Parameter ideal: an ideal generated by a system of parameters. Perfect ideal: A proper ideal I in a Noetherian ring is called a perfect ideal if its grade equals the projective dimension of the associated quotient ring, 1= \textrm{grade}(I)=\textrm{proj}\dim(R/I) A perfect ideal is unmixed. Unmixed ideal: A proper ideal I in a Noetherian ring is called an unmixed ideal (in height) if the height of I is equal to the height of every associated prime P of R/I. (This is stronger than saying that R/I is equidimensional. See also equidimensional ring. Two other important terms using "ideal" are not always ideals of their ring. See their respective articles for details:
Fractional ideal: This is usually defined when R is a commutative domain with quotient field K. Despite their names, fractional ideals are R submodules of K with a special property. If the fractional ideal is contained entirely in R, then it is truly an ideal of R.
Invertible ideal: Usually an invertible ideal A is defined as a fractional ideal for which there is another fractional ideal B such that 1=AB = BA = R. Some authors may also apply "invertible ideal" to ordinary ring ideals A and B with 1=AB = BA = R in rings other than domains.