Введение
Матрица, равная своей транспонированной матрице
Матрица, симметричная относительно своей главной диагонали, матрицы с симметрией в поле комплексных чисел.
matrices with symmetry over the complex number field
В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица, равная своей транспонированной матрице. Формально,
Поскольку равные матрицы имеют одинаковые размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы. Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали. Таким образом, если обозначает элемент в -й строке и -м столбце, то
для всех индексов и
Каждая квадратная диагональная матрица является симметричной, поскольку все элементы вне главной диагонали равны нулю. Аналогично, в характеристике, отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый элемент является своим собственным отрицательным значением. В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряжённый оператор, представленный в ортонормальном базисе над вещественным пространством с внутренним произведением. Соответствующим объектом для комплексного пространства с внутренним произведением является эрмитова матрица с элементами, принимающими комплексные значения, которая равна своей сопряжённой транспонированной матрице. Следовательно, в линейной алгебре над комплексными числами часто подразумевается, что симметричная матрица имеет элементы с вещественными значениями. Симметричные матрицы естественным образом возникают в различных приложениях, и типичное программное обеспечение для численных методов линейной алгебры предусматривает специальные возможности для их обработки.
Основные свойства
Сумма и разность двух симметричных матриц симметричны. Это не всегда верно для произведения: если даны симметричные матрицы A и B, то AB симметрична тогда и только тогда, когда A и B коммутируют, то есть если AB = BA. Для любого целого числа k, Ak симметрична, если A симметрична. Если A⁻¹ существует, то она симметрична тогда и только тогда, когда A симметрична. Ранг симметричной матрицы A равен числу ненулевых собственных значений A.
Разложение на симметричные и симметричные по наклонности
Любую квадратную матрицу можно единственным образом представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Это разложение известно как разложение Топлица. Пусть обозначает пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц, а – пространство кососимметричных матриц, то и , то есть
where denotes the direct sum. Let then
Notice that and This is true for every square matrix with entries from any field whose characteristic is different from 2. A symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries on or above the main diagonal). Similarly, a skew symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries above the main diagonal).
где обозначает прямую сумму. Заметим, что и . Это верно для любой квадратной матрицы с элементами из любого поля, характеристика которого отлична от 2. Симметричная матрица определяется скалярами (числом элементов на или выше главной диагонали). Аналогично, кососимметричная матрица определяется скалярами (числом элементов выше главной диагонали).
where denotes the direct sum. Let then
Notice that and This is true for every square matrix with entries from any field whose characteristic is different from 2. A symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries on or above the main diagonal). Similarly, a skew symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries above the main diagonal).
Матрица, совпадающая с симметричной матрицей
Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, также является симметричной: если A — симметричная матрица, то и B симметрична для любой матрицы B.
Симметрия подразумевает нормальность .
(Реальнозначная) симметричная матрица обязательно является нормальной матрицей.
Реальные симметричные матрицы
Обозначим через стандартное внутреннее произведение на . Реальная матрица симметрична тогда и только если .
Since this definition is independent of the choice of basis, symmetry is a property that depends only on the linear operator A and a choice of inner product. This characterization of symmetry is useful, for example, in differential geometry, for each tangent space to a manifold may be endowed with an inner product, giving rise to what is called a Riemannian manifold. Another area where this formulation is used is in Hilbert spaces. The finite dimensional spectral theorem says that any symmetric matrix whose entries are real can be diagonalized by an orthogonal matrix. More explicitly: For every real symmetric matrix there exists a real orthogonal matrix such that is a diagonal matrix. Every real symmetric matrix is thus, up to choice of an orthonormal basis, a diagonal matrix. If and are real symmetric matrices that commute, then they can be simultaneously diagonalized by an orthogonal matrix: there exists a basis of such that every element of the basis is an eigenvector for both and
Every real symmetric matrix is Hermitian, and therefore all its eigenvalues are real. (In fact, the eigenvalues are the entries in the diagonal matrix (above), and therefore is uniquely determined by up to the order of its entries.) Essentially, the property of being symmetric for real matrices corresponds to the property of being Hermitian for complex matrices.
Поскольку это определение не зависит от выбора базиса, симметрия является свойством, которое зависит только от линейного оператора A и выбора внутреннего произведения. Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии, так как каждое касательное пространство к многообразию может быть снабжено внутренним произведением, что приводит к понятию риманова многообразия. Другая область, где используется эта формулировка, – пространства Гильберта. Конечномерная спектральная теорема утверждает, что любая симметричная матрица с вещественными элементами может быть диагонализована ортогональной матрицей. Более точно: для каждой вещественной симметричной матрицы существует вещественная ортогональная матрица такая, что является диагональной матрицей. Таким образом, каждая вещественная симметричная матрица, с точностью до выбора ортонормального базиса, является диагональной матрицей. Если и – вещественные симметричные матрицы, которые коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализованы ортогональной матрицей: существует базис такой, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обеих матриц и .
Since this definition is independent of the choice of basis, symmetry is a property that depends only on the linear operator A and a choice of inner product. This characterization of symmetry is useful, for example, in differential geometry, for each tangent space to a manifold may be endowed with an inner product, giving rise to what is called a Riemannian manifold. Another area where this formulation is used is in Hilbert spaces. The finite dimensional spectral theorem says that any symmetric matrix whose entries are real can be diagonalized by an orthogonal matrix. More explicitly: For every real symmetric matrix there exists a real orthogonal matrix such that is a diagonal matrix. Every real symmetric matrix is thus, up to choice of an orthonormal basis, a diagonal matrix. If and are real symmetric matrices that commute, then they can be simultaneously diagonalized by an orthogonal matrix: there exists a basis of such that every element of the basis is an eigenvector for both and
Every real symmetric matrix is Hermitian, and therefore all its eigenvalues are real. (In fact, the eigenvalues are the entries in the diagonal matrix (above), and therefore is uniquely determined by up to the order of its entries.) Essentially, the property of being symmetric for real matrices corresponds to the property of being Hermitian for complex matrices.
Каждая вещественная симметричная матрица является эрмитовой, и следовательно, все её собственные значения вещественны. (Фактически, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (выше), и поэтому определяется однозначно с точностью до порядка её элементов.) По сути, свойство симметричности для вещественных матриц соответствует свойству эрмитовости для комплексных матриц.
Since this definition is independent of the choice of basis, symmetry is a property that depends only on the linear operator A and a choice of inner product. This characterization of symmetry is useful, for example, in differential geometry, for each tangent space to a manifold may be endowed with an inner product, giving rise to what is called a Riemannian manifold. Another area where this formulation is used is in Hilbert spaces. The finite dimensional spectral theorem says that any symmetric matrix whose entries are real can be diagonalized by an orthogonal matrix. More explicitly: For every real symmetric matrix there exists a real orthogonal matrix such that is a diagonal matrix. Every real symmetric matrix is thus, up to choice of an orthonormal basis, a diagonal matrix. If and are real symmetric matrices that commute, then they can be simultaneously diagonalized by an orthogonal matrix: there exists a basis of such that every element of the basis is an eigenvector for both and
Every real symmetric matrix is Hermitian, and therefore all its eigenvalues are real. (In fact, the eigenvalues are the entries in the diagonal matrix (above), and therefore is uniquely determined by up to the order of its entries.) Essentially, the property of being symmetric for real matrices corresponds to the property of being Hermitian for complex matrices.
Комплексные симметричные матрицы
Комплексная симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной матрицы: таким образом, если – комплексная симметричная матрица, то существует унитарная матрица такая, что является вещественной диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Этот результат известен как факторизация Отонна–Такаги. Он был впервые доказан Леоном Отонном (1915) и Тейдзи Такаги (1925) и впоследствии повторно открыт различными математиками с использованием других доказательств. Фактически, матрица является эрмитовой и положительно полуопределённой, следовательно, существует унитарная матрица такая, что является диагональной матрицей с неотрицательными вещественными элементами. Таким образом, является комплексно симметричной с вещественной частью . Записывая как сумму и , где и – вещественные симметричные матрицы, то Поскольку и переставляются, существует вещественная ортогональная матрица такая, что обе матрицы и являются диагональными. Полагая (унитарная матрица), матрица становится комплексно диагональной. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (сохраняющую унитарность ), можно сделать элементы на диагонали вещественными и неотрицательными, как требуется. Для построения этой матрицы выразим диагональную матрицу в виде Матрица, которую мы ищем, задаётся просто как Очевидно, как и требуется, поэтому вносим модификацию Поскольку их квадраты являются собственными значениями , они совпадают с сингулярными числами (Примечание: относительно собственного разложения комплексной симметричной матрицы , нормальная форма Жордана может быть не диагональной, следовательно, может быть не приведена к диагональному виду посредством преобразования подобия).
Гессенский
Симметричные матрицы вещественных функций возникают как гессианы дважды дифференцируемых функций вещественных переменных (не требуется непрерывность второй производной, вопреки распространенному мнению). Любую квадратичную форму на можно единственным образом представить в виде с симметричной матрицей . Благодаря вышеупомянутой спектральной теореме, можно сказать, что любая квадратичная форма, вплоть до выбора ортонормального базиса , "выглядит как"
с вещественными числами . Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение уровневых множеств, являющихся обобщениями конических сечений. Это важно, в частности, потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции многих переменных описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану этой функции; это является следствием теоремы Тейлора.