Кіріспе

Бұл алгебралық топологиядағы CW кешендері немесе спектрлер санаттарында анықталған, кейбір қалыпты және жалпыланған (немесе ерекше) гомология және кохомология теорияларының тізімі. Гомология теориясының басқа түрлері туралы ақпарат алу үшін осы мақаланың соңындағы сілтемелерге қараңыз.

Кәдімгі гомология теориялары

Бұл - Эйленберг-Стинрод аксиомаларының "өлшемдік аксиомасын" қанағаттандыратын теориялар, яғни нүктенің гомологиясы 0-дан басқа өлшемде жоғалады. Олар абелдік коэффициенттік топ G арқылы анықталады және H(X, G) деп белгіленеді (мұнда G кейде жіберіліп қалады, әсіресе ол Z болғанда). Әдетте G – бүтін сандар, рационал сандар, нақты сандар, кешенді сандар немесе p модулі бойынша бүтін сандар болады. Кәдімгі кохомология теорияларының кохомология функторлары Эйленберг-МакЛейн кеңістіктерімен өкілдік етіледі. Симплициалды кешендерде бұл теориялар сингулярлы гомологиямен және кохомологиямен сәйкес келеді.

Толық сандық коэффициенттермен гомология және кохомология.

Спектр: H (бүтін сандардың Эйленберг–Маклейн спектрі). Коэффициент сақинасы: πn(H) = Z, егер n = 0 болса, әйтпесе 0. Алғашқы гомология теориясы.

Рационалды (немесе нақты немесе күрделі) коэффициенттері бар гомология және кохомология.

Спектр: HQ (рационалдардың Эйленберг–Мак Лейн спектрі). Коэффициент сақинасы: πn(HQ) = Q, егер n = 0 болса, әйтпесе 0. Бұл – барлық гомология теорияларының ең оңайы. Гомология топтары HQn(X) көбінесе Hn(X, Q) деп белгіленеді. Рационалды, нақты және кешенді коэффициенттері бар H(X, Q), H(X, R), H(X, C) гомология топтарының бәрі ұқсас, және олар негізінен бұрылысқа қызығушылық болмағанда (немесе оны есептеу тым қиын болғанда) қолданылады. Ходж жіктелуі кешенді проективті алуан түрдің кешенді когомологиясын шешні кохомология топтарының қосындысы ретінде жазады.

Мод p коэффициенттері бар гомология және кохомология.

Спектр: HZp (Eilenberg–Maclane спектрі, p модулі бойынша бүтін сандар.)

Коэффициент сақинасы: πn(HZp) = Zp (p модулі бойынша бүтін сандар), егер n = 0 болса, әйтпесе 0.

К-теориялар

Кеңістіктің қарапайым K теориялары көбінесе кеңістіктегі векторлық шоғырлармен байланысты, ал K теориясының әртүрлі түрлері векторлық шоғырға қойылатын әртүрлі құрылымдарға сәйкес келеді.

Күрделі К-теориясы

Спектр: KU (жұп мүшелер BU немесе Z × BU, тақ мүшелер U). Коэффициент сақинасы: Коэффициент сақинасы K*(нүкте) – 2-дәрежелі генератор бойынша Лорант полиномдарының сақинасы. K0(X) – X кеңістігіндегі күрделі векторлық шоғырлардың тұрақты эквиваленттілік кластарының сақинасы. Ботт периоды K топтарының 2 периодтылығын білдіреді.

Байланысты К-теориялар

Спектр: ku – жалғаушы K теориясы, ko – жалғаушы нақты K теориясы. Коэффициент сақинасы: ku үшін коэффициент сақинасы – Z сақинасы үстіндегі бір v1 класындағы 2-өлшемді полиномдар сақинасы. ko үшін коэффициент сақинасы – үш генератордағы полином сақинаның үш генератор, η 1-өлшемде, x4 4-өлшемде және v14 8-өлшемде, кезеңділік генераторы, 2η = 0, x4² = 4v14, η³ = 0 және ηx = 0 қатынастары бойынша бөліндісі болып табылады. Шамамен айтқанда, бұл теріс өлшемді бөліктері жойылған K теориясы.

KR-теориясы

Бұл инволюциясы бар кеңістіктер үшін анықталған кохомологиялық теория, одан көптеген басқа K-теорияларын тудыруға болады.

Бордизм және кобордизм теориялары

Кобордизм көптүрліліктерді зерттейді, онда көптүрлілік егер ол басқа компактты көптүрліліктің шекарасы болса, "тривиалды" деп есептеледі. Көптүрліліктердің кобордизм кластары сақина құрайды, бұл әдетте кейбір жалпыланған когомология теориясының коэффициент сақинасы болып табылады. Мұндай теориялар көп, және олар көптүрлілікке қойылатын әртүрлі құрылымдарға шамамен сәйкес келеді. Кобордизм теорияларының функторлары көбінесе белгілі бір топтардың Том кеңістіктері арқылы ұсынылады.

Тұрақты гомотопия және кохомотопия

Спектр: S (сфералық спектр). Коэффициент сақинасы: Коэффициент топтары πn(S) — сфералардың тұрақты гомотопиялық топтары, оларды n > 0 үшін есептеу немесе түсіну өте қиын. (n < 0 үшін олар нөлдік болады, ал n = 0 үшін топ Z болады.) Тұрақты гомотопия кадрланған көптүрліліктердің кобордизмімен (нормальдық бундельдің тривиализациясы бар көптүрліліктермен) тығыз байланысты.

Мораваның К-теориясы

Спектр: K(n) (Олар сонымен қатар жай сан p-ге тәуелді).

Коэффициент сақинасы: Fp[vn, vn−1], мұнда vn-нің дәрежесі 2(pn – 1)-ге тең. Бұл теориялардың периоды 2(pn – 1) құрайды. Олар Джек Мораваның құрметіне аталған.

Топологиялық модульдік нысандар

Spectra: tmf, TMF (бұрын eo2 деп аталатын). Коэффициент сақинасы π*(tmf) топологиялық модульдік формалардың сақинасы деп аталады. TMF – tmf-тің модульдік форма Δ-ның 24-ші дәрежесінің керісі қосылған нұсқасы, және оның периоды 24² = 576-ға тең. p = 2 жағдайында tmf-тің толықтырылуы eo2 спектрі, ал tmf-тің K(2) локализациясы Хопкинс-Миллер жоғары нақты K-теориясы спектрі EO2 болып табылады.